Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10=6+4x−x2. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x2+y2−a.  Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn −10;10  của tham số aa để M≥2m ?

Câu hỏi:

Cho hai số thực x,y thỏa mãn $x^2+y^2-4x+6y+4+\sqrt{y^2+6y+10}=\sqrt{6+4x-x^2}$. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left|\sqrt{x^2+y^2}-a\right|.$  Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[-10;10\right]$ của tham số aa để $M\ge 2m$ ?

A.17.

B.16.

Đáp án chính xác

C.15.

D.18.

Trả lời:

Ta có  $x^2+y^2-4x+6y+4+\sqrt{y^2+6y+10}=\sqrt{6+4x-x^2}$
$\begin{array}{l}\iff x^2+y^2-4x+6y+4+\sqrt{y^2+6y+10}-\sqrt{6+4x-x^2}=0\\ \iff x^2+y^2-4x+6y+4+\frac{\left(\sqrt{y^2+6y+10}-\sqrt{6+4x-x^2}\right)\left(\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}\right)}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}=0\end{array}$
$\begin{array}{l}\iff x^2+y^2-4x+6y+4+\frac{y^2+6y+10-6-4x+x^2}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}=0\\ \iff x^2+y^2-4x+6y+4+\frac{x^2+y^2-4x+6y+4}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}=0\end{array}$
$\iff \left(x^2+y^2-4x+6y+4\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}\right)=0$
$1+\frac{1}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}>0$
$\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9$

Phương trình ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9$ là phương trình đường tròn (C) tâm I(2;−3) và bán kính $R=3.$

Gọi $N\left(x;y\right)\in \left(C\right)$  ta suy ra $ON=\sqrt{x^2+y^2}$ suy ra $T=\left|ON-a\right|$

Gọi A,B là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng OI.

Khi đó $OA=OI-R=\sqrt{13}-3$ và $OB=OI+R=\sqrt{13}+3$

Suy ra $\sqrt{13}-3\le \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{13}+3$
 TH1: Nếu $\sqrt{13}-3\le a\le \sqrt{13}+3$ thì
$\left|\sqrt{x^2+y^2}-a\right|\ge 0\Rightarrow \min T=0\Rightarrow M\ge 2m\Rightarrow a\in \left\{1;2;3;4;5;6\right\}$

TH2: Nếu $a<\sqrt{13}-3\Rightarrow a<\sqrt{13}$  nên $\left|\sqrt{13}+3-a\right|>\left|\sqrt{13}-3-a\right|$ , do đó
$M=\left|\sqrt{13}+3-a\right|;m=\left|\sqrt{13}-3-a\right|$
Vì $M\ge 2m\Rightarrow \left|\sqrt{13}+3-a\right|\ge 2\left|\sqrt{13}-3-a\right|$
$\iff {\left(\sqrt{13}+3-a\right)}^2-{\left(2\sqrt{13}-6-2a\right)}^2\ge 0\iff \sqrt{13}-9\le a\le \sqrt{13}-1\Rightarrow a\in \left\{-5;-4;-3;-2;-1;0\right\}$

TH3: Nếu $a>\sqrt{13}+3\Rightarrow a>\sqrt{13}$ nên $\left|\sqrt{13}+3-a\right|<\left|\sqrt{13}-3-a\right|$ do đó
$m=\left|\sqrt{13}+3-a\right|;M=\left|\sqrt{13}-3-a\right|$
Vì $M\ge 2m\Rightarrow \left|\sqrt{13}-3-a\right|\ge 2\left|\sqrt{13}+3-a\right|$
$\iff {\left(\sqrt{13}-3-a\right)}^2-{\left(2\sqrt{13}+6-2a\right)}^2\ge 0\iff \sqrt{13}+1\le a\le \sqrt{13}+9\Rightarrow a\in \left\{7;8;9;10\right\}$

Vậy có 16 giá trị của a thỏa mãn đề bài.
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên 1;3 là M = −2. Chọn khẳng định đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên $\left[1;3\right]$là M = −2. Chọn khẳng định đúng:

   A. $f\left(x\right)⩾-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   B. $f\left(1\right)=f\left(3\right)=-2$

   C. $f\left(x\right)<-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   D. $f\left(x\right)⩽-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu M = −2 là GTLN của hàm số y = f(x) trên $\left[1;3\right]$ thì $f\left(x\right)⩽-2,\forall x\in \left[1;3\right]$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số f(x) xác định trên 0;2 và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) xác định trên $\left[0;2\right]$và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:

   A. $f\left(0\right)<5$

   B. $f\left(2\right)⩾5$

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(1\right)=5$

   D. $f\left(0\right)=5$

   Trả lời:

   GTNN của f(x) trên $\left[0;2\right]$bằng 5 nên $f\left(x\right)⩾5,\forall x\in \left[0;2\right]\Rightarrow f\left(2\right)⩾5$.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+cosx trên đoạn 0;1 là :
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x+\cos x$ trên đoạn $\left[0;1\right]$là :

   A.−1

   B.1

   Đáp án chính xác

   C.π

   D.0

   Trả lời:

   Ta có$y^{‘}=2-\sin x>0\text{}\forall x\in R\Rightarrow$Hàm số luôn đồng biến trên$\left[0;1\right]$
   $\Rightarrow \underset{\left[0;1\right]}{\min }y=y\left(0\right)=1$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx  trên đoạn [−π2;−π3] lần lượt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=sinx$ trên đoạn $[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}]$ lần lượt là

   A. $-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   B. $-\frac{\sqrt{3}}{2};-1$

   Đáp án chính xác

   C. $-\frac{\sqrt{3}}{2};-2$

   D. $-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Trả lời:

   Ta có $y^{‘}=\cos x\Rightarrow y^{‘}=0\iff \cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$
   Do$x\in \left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]$nên$k=-1$hay$x=-\frac{\pi }{2}$
   Suy ra
   $y(-\frac{\pi }{2})=-1;y(-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\left\{\begin{array}{c}\underset{\left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]}{\max }y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \underset{\left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]}{\min }y=-1\end{array}\right.$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x−1+4x−1 trên khoảng 1;+∞. Tìm m?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$. Tìm m?

   A. $m=2$

   B. $m=5$

   C. $m=3$

   D. $m=4$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $x>1\iff x-1>0$
   $\Rightarrow y=x-1+\frac{4}{x-1}\ge 2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{4}{x-1}}=2.2=4$
   Dấu bằng xảy ra $\iff x-1=\frac{4}{x-1}\iff {\left(x-1\right)}^2=4\iff x=3$
   Vậy GTNN của hàm số là m = 4 khi x = 3.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====