Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x2+2y2+2xy=1 và hàm số f(t)=t4−t2+2. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q=fx+y+1x+2y−2  Tính M+m?

Câu hỏi:

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn $x^2+2y^2+2xy=1$ và hàm số $f\left(t\right)=t^4-t^2+2$. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q=f\left(\frac{x+y+1}{x+2y-2}\right)$  Tính M+m?

A. $8\sqrt{3}-2$

B. $\frac{303}{2}$

C. $\frac{303}{4}$

Đáp án chính xác

D. $4\sqrt{3}+2$

Trả lời:

Ta có: $x^2+2y^2+2xy=1\iff {\left(x+y\right)}^2+y^2=1$
Đặt $\left\{\begin{array}{c}x+y=sin\alpha \\ y=cos\alpha \end{array}\right.$Ta có $Q=f\left(\frac{x+y+1}{x+2y-2}\right)=f\left(\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\text{cos\hspace{0.17em}}\alpha -2}\right)$
Đặt $t=\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\text{cos\hspace{0.17em}}\alpha -2}$ Ta có $Q=f\left(\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\text{cos\hspace{0.17em}}\alpha -2}\right)=f\left(t\right)$
$\begin{array}{l}t=\frac{\sin \alpha +1}{\sin \alpha +\text{cos\hspace{0.17em}}\alpha -2}\left(\alpha \in ℝ\right)\\ \iff t\sin \alpha +t\text{cos\hspace{0.17em}}\alpha -2t=\sin \alpha +1\iff \left(t-1\right)\sin \alpha +t\text{\hspace{0.17em}cos\hspace{0.17em}}\alpha =2t+1\end{array}$ (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm $\alpha$ thì ${\left(t-1\right)}^2+t^2\ge {\left(2t+1\right)}^2$
$\iff t^2-2t+1+t^2\ge 4t^2+4t+1\iff 2t^2+6t\le 0\iff -3\le t\le 0$

Xét $Q=f\left(t\right)=t^4-t^2+2$ trên đoạn $\left[-3;0\right]$ có:
$f‘\left(t\right)=4t^3-2t,f‘\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

Hàm số $f\left(t\right)$  liên tục trên $\left[-3;0\right]$ có $f\left(-3\right)=74,f\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\frac{7}{4},f\left(0\right)=2$
$\Rightarrow \underset{\left[-3;0\right]}{\min }f\left(t\right)=\frac{7}{4},\underset{\left[-3;0\right]}{\max }f\left(t\right)=74$
⇒M + m $=\frac{7}{4}+74=\frac{303}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên 1;3 là M = −2. Chọn khẳng định đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên $\left[1;3\right]$là M = −2. Chọn khẳng định đúng:

   A. $f\left(x\right)⩾-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   B. $f\left(1\right)=f\left(3\right)=-2$

   C. $f\left(x\right)<-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   D. $f\left(x\right)⩽-2,\forall x\in \left[1;3\right]$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu M = −2 là GTLN của hàm số y = f(x) trên $\left[1;3\right]$ thì $f\left(x\right)⩽-2,\forall x\in \left[1;3\right]$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số f(x) xác định trên 0;2 và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) xác định trên $\left[0;2\right]$và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:

   A. $f\left(0\right)<5$

   B. $f\left(2\right)⩾5$

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(1\right)=5$

   D. $f\left(0\right)=5$

   Trả lời:

   GTNN của f(x) trên $\left[0;2\right]$bằng 5 nên $f\left(x\right)⩾5,\forall x\in \left[0;2\right]\Rightarrow f\left(2\right)⩾5$.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+cosx trên đoạn 0;1 là :
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x+\cos x$ trên đoạn $\left[0;1\right]$là :

   A.−1

   B.1

   Đáp án chính xác

   C.π

   D.0

   Trả lời:

   Ta có$y^{‘}=2-\sin x>0\text{}\forall x\in R\Rightarrow$Hàm số luôn đồng biến trên$\left[0;1\right]$
   $\Rightarrow \underset{\left[0;1\right]}{\min }y=y\left(0\right)=1$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx  trên đoạn [−π2;−π3] lần lượt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=sinx$ trên đoạn $[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}]$ lần lượt là

   A. $-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   B. $-\frac{\sqrt{3}}{2};-1$

   Đáp án chính xác

   C. $-\frac{\sqrt{3}}{2};-2$

   D. $-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Trả lời:

   Ta có $y^{‘}=\cos x\Rightarrow y^{‘}=0\iff \cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$
   Do$x\in \left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]$nên$k=-1$hay$x=-\frac{\pi }{2}$
   Suy ra
   $y(-\frac{\pi }{2})=-1;y(-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\left\{\begin{array}{c}\underset{\left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]}{\max }y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \underset{\left[-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}\right]}{\min }y=-1\end{array}\right.$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x−1+4x−1 trên khoảng 1;+∞. Tìm m?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$. Tìm m?

   A. $m=2$

   B. $m=5$

   C. $m=3$

   D. $m=4$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $x>1\iff x-1>0$
   $\Rightarrow y=x-1+\frac{4}{x-1}\ge 2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{4}{x-1}}=2.2=4$
   Dấu bằng xảy ra $\iff x-1=\frac{4}{x-1}\iff {\left(x-1\right)}^2=4\iff x=3$
   Vậy GTNN của hàm số là m = 4 khi x = 3.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====