Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 6. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 32. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3\sqrt{2}$. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

A. 3

Đáp án chính xác

B. $2\sqrt{2}$

C. $2\sqrt{3}$

D. 4

Trả lời:

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của điểm S lên AB,BC,AC ta có:
$\begin{array}{l}{S}_{\text{Δ}ABC}=S_{\text{Δ}BCA}=S_{\text{Δ}CAB}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}SM.AB=\frac{1}{2}SN.BC=\frac{1}{2}SP.CA\end{array}$
Mà $AB=BC=CA\left(gt\right)\Rightarrow SM=SN=SP$
Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC), ta có:
$\left\{\begin{array}{c}AB\perp SM\\ AB\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SOM\right)\Rightarrow AB\perp OM$
CMTT ta có $ON\perp BC,OP\perp AC$
Xét các tam giác vuông $\text{Δ}SOM,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}Δ}SON,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}Δ}SOP$ có:
$\begin{array}{l}SOchung\\ SM=SN=SP\left(cmt\right)\end{array}$
$\Rightarrow \text{Δ}SOM=\text{Δ}SON=\text{Δ}SOP$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
$\Rightarrow OM=ON=OP$ suy ra OO cách đều các cạnh AB,BC,CA nên O là tâm đường tròn nội tiếp $\text{Δ}ABC$ hoặc O là tâm đường tròn bàng tiếp $\text{Δ}ABC$
+ TH1: O là tâm đường tròn nội tiếp $\text{Δ}ABC$. Mà $\text{Δ}ABC$ đều nên O là đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó ta có
$AN=\frac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},AO=\frac{2}{3}AN=\sqrt{2}$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{18-2}=4$
$S_{\text{Δ}ABC}={\left(\sqrt{6}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{1}{3}\mathrm{.4.}\frac{3\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
TH2: O là tâm đường tròn bàng tiếp $\text{Δ}ABC$.
Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác ABC
$\Rightarrow p=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
Khi đó ta có $S_{ABC}=\left(p-BC\right).R$
$\Rightarrow {\left(\sqrt{6}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}\right).R\iff R=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Có $AN=\frac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OA=AN+ON=3\sqrt{2}$
$\Rightarrow SA>OA=3\sqrt{2}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
$\Rightarrow SB=3\sqrt{2}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM có: $OB=\sqrt{O{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2}=\sqrt{6}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có:
$SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=2\sqrt{3}$
Khi đó ta có $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.{\left(\sqrt{6}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=3$
Vậy $\min V_{S.ABC}=3$
Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

   A. $V=Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án chính xác

   D. $V=\frac{1}{6}Sh$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

   A. $\frac{V}{V^{‘}}=k$

   B. $\frac{V^{‘}}{V}=k^2$

   C. $\frac{V}{V^{‘}}=k^3$

   D. $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

   A. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}+\frac{S{B}^{‘}}{SB}+\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   C. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}=\frac{S{B}^{‘}}{SB}=\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   D. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu $A^{‘},B^{‘},C^{‘}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:
   $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

   A. $\frac{a^3}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^3}{3}$

   B. $\frac{a^3}{4}$

   C. $\frac{a^3}{8}$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{\text{Δ}BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$m ;
   $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$
   

   Đáp án cần chọn là: A

    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD  và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $AB=2AD=2CD=2a=\sqrt{2}SA$. Thể tích khối chóp S.BCD là:

   A. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

   B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2a^3}{3}$

   D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

   Trả lời:

   

   Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2a+a\right)a=\frac{3a^2}{2}$
   $S_{\text{Δ}ABD}=\frac{1}{2}AD.AB=\frac{1}{2}a.2a=a^2$
   $\Rightarrow S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}SA=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$
   $\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====