Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, ∠BAD=600, SA=SC  và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất V0 của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $\angle BAD={60}^0, SA=SC$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_0$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_0=\frac{2\sqrt{3}}{9}$

B. $V_0=\frac{8\sqrt{3}}{21}$

C. $V_0=\frac{2\sqrt{3}}{7}$

D. $V_0=\frac{4\sqrt{3}}{9}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Gọi $O=AC\cap BD$ ta có:
$SA=SC\Rightarrow \text{Δ}SAC$ cân tại S$\Rightarrow SO\perp AC$
Tam giác SBD vuông cân tại S$\Rightarrow SO\perp BD$
$\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$
Trong (SBD), gọi $I=MN\cap BD$
Đặt $\frac{SM}{SB}=x,\frac{SN}{SD}=y(0<x,y<1)$
Ta có: $\frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}x\Rightarrow \frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}x$
$\frac{V_{S.ANE}}{V_{S.ADC}}=\frac{SN}{SD}.\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}y\Rightarrow \frac{V_{S.ANE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}y$
$\Rightarrow \frac{V_{S.AMNE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABCD}}+\frac{V_{S.ANE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{x+y}{4}\left(1\right)$
Ta lại có: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}=xy\Rightarrow \frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}=\frac{xy}{2}$
$\frac{V_{S.MNE}}{V_{S.BDC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}.\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}xy\Rightarrow \frac{V_{S.MNE}}{V_{S.ABCC}}=\frac{xy}{4}$
$\Rightarrow \frac{V_{S.AMNE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}+\frac{V_{S.MNE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{xy}{2}+\frac{xy}{4}=\frac{3xy}{4}\left(2\right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x+y}{4}=\frac{3xy}{4}\iff x+y=3xy$
$\iff x=\left(3x-1\right)y\iff y=\frac{x}{3x-1}\left(x\ne \frac{1}{3}\right)$
Do $x,y>0\Rightarrow 3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$
Khi đó ta có $\frac{V_{S.AMNE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}\left(x+\frac{x}{3x-1}\right)$
Xét hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{x}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$ ta có:
$f^{‘}\left(x\right)=1-\frac{1}{{\left(3x-1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}3x-1=1\\ 3x-1=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ x=0\left(ktm\right)\end{array}\right.$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $\min V_{S.AMNE}=\frac{1}{4}.\frac{4}{3}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{V}_{S.ABCD}$
$\Rightarrow \max V_{ABCDNEM}=\frac{2}{3}{V}_{S.ABCD}\Rightarrow V_0=\frac{2}{3}{V}_{S.ABCD}$
Ta có: $\text{Δ}ABD$ đều cạnh 2$\left(AB=AD,\angle BAD={60}^0\right)\Rightarrow S_{ABD}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=2\sqrt{3}$
Tam giác ABD đều cạnh 2 ⇒BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên
$SO=\frac{1}{2}BD=1$
$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}\mathrm{.1.2}\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Vậy $V_0=\frac{2}{3}{V}_{S.ABCD}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$
Đáp án cần chọn là: D

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

   A. $V=Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án chính xác

   D. $V=\frac{1}{6}Sh$

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phép vị tự tỉ số k &gt; 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:

   A. $\frac{V}{V^{‘}}=k$

   B. $\frac{V^{‘}}{V}=k^2$

   C. $\frac{V}{V^{‘}}=k^3$

   D. $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó $\frac{V^{‘}}{V}=k^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

   A. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}+\frac{S{B}^{‘}}{SB}+\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   C. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}=\frac{S{B}^{‘}}{SB}=\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   D. $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Nếu $A^{‘},B^{‘},C^{‘}$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:
   $\frac{V_{S.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{‘}}{SA}.\frac{S{B}^{‘}}{SB}.\frac{S{C}^{‘}}{SC}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

   A. $\frac{a^3}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a^3}{3}$

   B. $\frac{a^3}{4}$

   C. $\frac{a^3}{8}$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{\text{Δ}BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$m ;
   $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$
   

   Đáp án cần chọn là: A

    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD  và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $AB=2AD=2CD=2a=\sqrt{2}SA$. Thể tích khối chóp S.BCD là:

   A. $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

   B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2a^3}{3}$

   D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

   Trả lời:

   

   Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).AD=\frac{1}{2}\left(2a+a\right)a=\frac{3a^2}{2}$
   $S_{\text{Δ}ABD}=\frac{1}{2}AD.AB=\frac{1}{2}a.2a=a^2$
   $\Rightarrow S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}SA=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$
   $\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====