Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi (T) là hình trụ nội tiếp lăng trụ và M là tâm của mặt bên BCC’B’. Mặt phẳng (P) chứa AM cắt hình trụ (T) như hình vẽ. Thể tích khối hình còn lại (phần tô đậm) của khối trụ (T) là

Câu hỏi:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi (T) là hình trụ nội tiếp lăng trụ và M là tâm của mặt bên BCC’B’. Mặt phẳng (P) chứa AM cắt hình trụ (T) như hình vẽ.

Thể tích khối hình còn lại (phần tô đậm) của khối trụ (T) là

A. $\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{8\pi }{27}$

C. $\frac{8\pi \sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{4\pi \sqrt{2}}{9}$

Trả lời:

Giả sử $h=S=1$
Cạnh $AB=a$, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ là r và p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Khi đó ta có: S=p.r=1
Mà
$\begin{array}{l}p=\frac{3a}{2};S=\sqrt{p{\left(p-a\right)}^3}=1\\ \Rightarrow p{\left(p-a\right)}^3=1\iff \frac{3a}{2}{\left(\frac{a}{2}\right)}^3=1\\ \iff a=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\Rightarrow p=\sqrt[4]{27}\Rightarrow r=\frac{1}{\sqrt[4]{27}}\\ \frac{V_{tru}}{V_{ltru}}=\frac{S_{tron}}{S_{A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{\pi r^2}{pr}=\frac{\pi r}{p}=\frac{\pi .1}{\sqrt{27}}\\ \Rightarrow V_{tru}=\frac{\pi }{\sqrt{27}}\end{array}$

Gọi thể tích của khối trụ bị cắt bỏ là V₁ và phần tô đậm của (T) là V₂
Mà thiết diện khi lăng trụ bị cắt là tam giác AEF với E và F lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’
Khi đó $\frac{V_{ABCFE}}{V_{ABC.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{V_1}{V_1+V_2}$
Ta có:
$\begin{array}{l}\frac{V_{ABCFE}}{V_{ABC.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{V_1}{V_1+V_2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{V_2}{V_1+V_2}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow V_2=\frac{2}{3}.V_{tru}=\frac{2}{3}.\frac{\pi }{\sqrt{27}}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của các khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh trục AB và BC. Khi đó tỉ số V1V2 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Gọi V₁,V₂ lần lượt là thể tích của các khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh trục AB và BC. Khi đó tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng:

   A. $\frac{4}{3}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{3}{4}$

   C. $\frac{9}{16}$

   D. $\frac{16}{9}$

   Trả lời:

   Có $V_1=\pi B{C}^2.AB;V_2=\pi .A{B}^2.BC\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng:

   A. $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$

   Đáp án chính xác

   B. $R=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi }}$

   C. $R=\sqrt[]{\frac{V}{2\pi }}$

   D. $R=\sqrt[]{\frac{V}{\pi }}$

   Trả lời:

   Hình trụ đó có chiều cao $h=\frac{V}{\pi R^2}$ và diện tích toàn phần
   $S_{tp}=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R^2+\frac{2V}{R}=2\pi R^2+\frac{V}{R}+\frac{V}{R}\ge 3\sqrt[3]{2\pi R^2.\frac{V}{R}.\frac{V}{R}}=3\sqrt[3]{2\pi V^2}$
   Dấu “=” xảy ra $\iff 2\pi R^2=\frac{V}{R}\iff R^3=\frac{V}{2\pi }\iff R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Thể tích khối trụ có bán kính r = 4cm và chiều cao h = 5cm là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích khối trụ có bán kính r = 4cm và chiều cao h = 5cm là:

   A. $40\pi c{m}^3$

   B. $80\pi c{m}^3$

   Đáp án chính xác

   C. $60\pi c{m}^3$

   D. $100\pi c{m}^3$

   Trả lời:

   Ta có: $V=\pi r^{2}h=\pi {.4}^2.5=80\pi c{m}^3$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m,3m,2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo nước hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường tròn đáy là 4cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m,3m,2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo nước hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường tròn đáy là 4cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?

   A.280 ngày           

   B.281 ngày               

   Đáp án chính xác

   C.282 ngày                   

   D.882 ngày

   Trả lời:

   Thể tích gáo $V_1=\pi R^2.h=\pi .0,{04}^2.0,05=8\pi {.10}^{-5}\left(m^3\right)$
   Số nước múc ra trong một ngày $V_2=170V_1=\mathrm{170.8.}\pi {.10}^{-5}=0,0136\pi \left(m^3\right)$
   Số ngày dùng hết nước là $\frac{\mathrm{2.3.2}}{V_2}=\frac{12}{0,0136\pi }\approx 281$ (ngày)
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.

   A. $S_{tp}=4\pi$

   Đáp án chính xác

   B. $S_{tp}=12\pi$

   C. $S_{tp}=6\pi$

   D. $S_{tp}=10\pi$

   Trả lời:

   Hình trụ có bán kính đáy r = 1  chiều cao h = 1 nên có $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=4\pi$.
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====