Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =a32. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là α . Tính cosα biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là $\alpha$ . Tính $cos\alpha$ biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

A. $2-\sqrt{3}$

B. $2\sqrt{3}-3$

Đáp án chính xác

C. $3-2\sqrt{3}$

D. $\sqrt{2}-1$

Trả lời:

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên $CM\perp AB,DM\perp AB$
Ta có : $\left\{\begin{array}{c}\left(ABC\right)\cap \left(ABD\right)=AB\\ CM\perp AB,CM\subset \left(ABC\right)\\ DM\perp AB,DM\subset \left(ABD\right)\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(ABC\right);\left(ABD\right)\right)=\angle \left(CM;DM\right)$
Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :
$\begin{array}{l}C{M}^2=A{C}^2-A{M}^2\\ \Rightarrow CM=\sqrt{A{C}^2-A{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\end{array}$
Tương tự $DM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :
Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên $IK=IM=IN,IK\perp AD$.
Xét tam giác AMI và AKI có :
$\begin{array}{l}\widehat{AMI}=\widehat{AKI}={90}^0;\\ AIchung;\\ IM=IK\left(cmt\right);\end{array}$
Do đó $\text{Δ}AMI=\text{Δ}AKI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow AK=AM=\frac{a}{2}$ (cạnh tương ứng).
Tương tự : $\text{Δ}DNI=\text{Δ}DKI$ (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)
$\begin{array}{l}\Rightarrow DN=DK=AD-AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\\ \Rightarrow DC=2DN=2.\frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a\left(\sqrt{3}-1\right)\end{array}$
Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :
$\begin{array}{l}\cos \widehat{CMD}=\frac{M{C}^2+M{D}^2-C{D}^2}{2MC.MD}\\ =\frac{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(a\left(\sqrt{3}-1\right)\right)}^2}{2.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\ =2\sqrt{3}-3>0\\ \Rightarrow \cos \alpha =\cos \widehat{CMD}=2\sqrt{3}-3\end{array}$
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Khối cầu thể tích V thì bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khối cầu thể tích V thì bán kính là:

   A. $R=\frac{3V}{4\pi }$

   B. $R=\sqrt{\frac{3V}{4\pi }}$

   C. $R=\frac{1}{2}.\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi }}$

   D. $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: thể tích khối cầu  $V=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Công thức tính diện tích mặt cầu là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính diện tích mặt cầu là:

   A. $S=\pi R^2$

   B. $S=4\pi R^2$

   Đáp án chính xác

   C. $S=2\pi R^2$

   D. $\frac{4}{3}\pi R^2$

   Trả lời:

   Công thức tính diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

   A. $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$

   Đáp án chính xác

   B. $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{2}}$

   C. $R=\sqrt{r^2-\frac{h^2}{4}}$

   D. $R=r^2+\frac{h^2}{4}$

   Trả lời:

   Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$
   với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

   A. $\min V=4\sqrt{3}$

   B. $\min V=8\sqrt{3}$

   Đáp án chính xác

   C. $\min V=9\sqrt{3}$

   D. $\min V=16\sqrt{3}$

   Trả lời:

   Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh aa
   Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=1\Rightarrow a=2\sqrt{6}$
   Thể tích tứ diện đều đó là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=8\sqrt{3}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó

   A. $S=4\pi a^2$

   B. $S=\pi a^2$

   Đáp án chính xác

   C. $S=\frac{1}{3}\pi a^2$

   D. $S=\frac{4\pi a^2}{3}$

   Trả lời:

   Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng $\frac{a}{2}$
   Diện tích mặt cầu đó là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\pi a^2$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====