Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; ∠BAC=1200. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.

Câu hỏi:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; $\angle BAC={120}^0$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.

A. $\frac{64\sqrt{2}\pi }{3}$

B. $16\pi$

C. $32\pi$

Đáp án chính xác

D. $\frac{32\sqrt{2}\pi }{3}$

Trả lời:

Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.
Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và
$AM\perp BC\Rightarrow AH\perp BC$  (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi $\Rightarrow HB=HC$
Xét tam giác ABH có AB = BH, $\angle BAH=\frac{1}{2}\angle BAC={60}^0$ nên là tam giác đều, do đó HA = HB.
Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.
Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.
Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.
$\Rightarrow \text{Δ}AHI=\text{Δ}{A}^{‘}{H}^{‘}I$ (2 cạnh góc vuông) =>IA = IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:
$AI=\sqrt{A{H}^2+H{I}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là $R=2\sqrt{2}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi .{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=32\pi$
Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Khối cầu thể tích V thì bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khối cầu thể tích V thì bán kính là:

   A. $R=\frac{3V}{4\pi }$

   B. $R=\sqrt{\frac{3V}{4\pi }}$

   C. $R=\frac{1}{2}.\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi }}$

   D. $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: thể tích khối cầu  $V=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Công thức tính diện tích mặt cầu là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính diện tích mặt cầu là:

   A. $S=\pi R^2$

   B. $S=4\pi R^2$

   Đáp án chính xác

   C. $S=2\pi R^2$

   D. $\frac{4}{3}\pi R^2$

   Trả lời:

   Công thức tính diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

   A. $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$

   Đáp án chính xác

   B. $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{2}}$

   C. $R=\sqrt{r^2-\frac{h^2}{4}}$

   D. $R=r^2+\frac{h^2}{4}$

   Trả lời:

   Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$
   với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

   A. $\min V=4\sqrt{3}$

   B. $\min V=8\sqrt{3}$

   Đáp án chính xác

   C. $\min V=9\sqrt{3}$

   D. $\min V=16\sqrt{3}$

   Trả lời:

   Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh aa
   Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=1\Rightarrow a=2\sqrt{6}$
   Thể tích tứ diện đều đó là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=8\sqrt{3}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó

   A. $S=4\pi a^2$

   B. $S=\pi a^2$

   Đáp án chính xác

   C. $S=\frac{1}{3}\pi a^2$

   D. $S=\frac{4\pi a^2}{3}$

   Trả lời:

   Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng $\frac{a}{2}$
   Diện tích mặt cầu đó là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\pi a^2$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====