Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:x=2+m2−2mty=5−m−3tz=7−22  và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{c}x=2+\left(m^2-2m\right)t\\ y=5-\left(m-3\right)t\\ z=7-2\sqrt{2}\end{array}\right.$
 và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng $\Delta$ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là

A.$\frac{5}{6}$

B. $\frac{5}{3}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{7}{3}$ 

D. $\frac{3}{5}$

Trả lời:

Đường thẳng  $\text{Δ}$ đi qua điểm $M\left(2;5;7-2\sqrt{2}\right)$ và nhận$\overrightarrow{u}=\left(m^2-2m;4-m;0\right)$ làm VTCP.
Có$\overrightarrow{AM}=\left(1;3;4-2\sqrt{2}\right)\Rightarrow AM=\sqrt{34-16\sqrt{2}}$
Để $d\left(A,\text{Δ}\right)=A{H}_{\min }$ thì $\sin \alpha =\frac{AH}{AM}$ đạt GTNN hay $\cos \alpha$ đạt GTLN.
Mà
$\cos \alpha =\cos \left(AM,\text{Δ}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}\right|}{\left|\overrightarrow{AM}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\left|\left(m^2-2m\right)+3\left(4-m\right)\right|}{\sqrt{34-16\sqrt{2}}.\sqrt{{\left(m^2-2m\right)}^2+{\left(4-m\right)}^2}}$
Mà$\left|\left(m^2-2m\right)+3\left(4-m\right)\right|\le \sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{{\left(m^2-2m\right)}^2+{\left(4-m\right)}^2}$
$\Rightarrow \frac{\left|\left(m^2-2m\right)+3\left(4-m\right)\right|}{\sqrt{34-16\sqrt{2}}.\sqrt{{\left(m^2-2m\right)}^2+{\left(4-m\right)}^2}}\le \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{34-16\sqrt{2}}}$
 đạt GTLN nếu
$\frac{m^2-2m}{1}=\frac{4-m}{3}\iff 3m^2-6m=4-m\iff 3m^2-5m-4=0$
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là $\frac{5}{3}$
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Đường thẳng đi qua điểm −x0;−y0;−z0 và có VTCP (−a;−b;−c) có phương trình:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường thẳng đi qua điểm $\left(-x_0;-y_0;-z_0\right)$ và có VTCP (−a;−b;−c) có phương trình:

   A.$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

   B. $\frac{x-x_0}{-a}=\frac{y-y_0}{-b}=\frac{z-z_0}{-c}$

   C. $\frac{x+x_0}{a}=\frac{y+y_0}{b}=\frac{z+z_0}{c}$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{x+x_0}{a}=\frac{y+y_0}{-b}=\frac{z+z_0}{c}$

   Trả lời:

   Đường thẳng đi qua điểm$\left(-x_0;-y_0;-z_0\right)$ và có VTCP $\left(-a;-b;-c\right)$ có phương trình:
   $\frac{x-\left(-x_0\right)}{-a}=\frac{y-\left(-y_0\right)}{-b}=\frac{z-\left(-z_0\right)}{-c}\iff \frac{x+x_0}{a}=\frac{y+y_0}{b}=\frac{z+z_0}{c}$
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho đường thẳng d:x=−ty=1−tz=t(t∈ℝ). Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=-t\\ y=1-t\\ z=t\end{array}\right.(t\in ℝ).$ Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?

   A.(−1;−1;1)

   B.(−1;1;1)

   C.(0;1;1)

   D.(0;1;0)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Vì $d:\left\{\begin{array}{c}x=-t\\ y=1-t\\ z=t\end{array}\right.\iff d:\left\{\begin{array}{c}x=0-t\\ y=1-t\\ z=0+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$ nên d đi qua điểm (0;1;0).
   Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của dd nên chỉ có đáp án D đúng.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng x+12=y−2−2=z1?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1}$?

   A.(0;1;2)

   B.(1;0;1)

   Đáp án chính xác

   C.(2;−2;1)

   D.(3;−4;1)

   Trả lời:

   Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:
   $\frac{0+1}{2}=\frac{1-2}{-2}\ne \frac{2}{1}$ nên A sai.
   $\frac{1+1}{2}=\frac{0-2}{-2}=\frac{1}{1}$  nên B đúng.
   Thay tọa độ các điểm đáp án C,D vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x=1y=2+3tz=5−t(t∈R). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.(t\in R)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

   A.$\overrightarrow{u_1}=(\mathrm{0,3,}-1)$
   
   

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{u_1}=(\mathrm{1,3,}-1)$

   C. $\overrightarrow{u_1}=(\mathrm{1,}-\mathrm{3,}-1)$

   D. $\overrightarrow{u_1}=\left(\mathrm{1,2,5}\right)$

   Trả lời:

   Ta có:
   $d:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.(t\in R)\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{c}x=1+0t\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_1}=(\mathrm{0,3,}-1)$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz?

   A.$\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=t\\ z=t\end{array}\right.$

   B. $\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$

   C. $\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=t\\ z=0\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\\ z=t\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương trình trục Oz: $\left\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\\ z=t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====