Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt phẳng P:2x−y+2z−8=0. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2MA2+3MB2 bằng:

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z-8=0$. Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của $2M{A}^2+3M{B}^2$ bằng:

A.135

Đáp án chính xác

B.105

C.108

D.145

Trả lời:

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn đẳng thức :$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow 2(2-a;-2-b;4-c)+3(-3-a;3-b;-1-c)=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}4-2a-9-3a=0\\ -4-2b+9-3b=0\\ 8-2c-3-3c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-5a-5=0\\ -5b+5=0\\ -5c+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.\Rightarrow I(-1;1;1)$
Ta có :
$\begin{array}{l}2M{A}^2+3M{B}^2=2{\overrightarrow{MA}}^2+3{\overrightarrow{MB}}^2\\ =2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2\\ =5M{I}^2+\left(2I{A}^2+3I{B}^2\right)+\overrightarrow{MI}\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}\right)\\ =5M{I}^2+\left(2I{A}^2+3I{B}^2\right)\end{array}$
Do I, A, B cố định nên $2I{A}^2+3I{B}^2=const$
$\Rightarrow {\left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)}_{\min }\iff 5M{I^2}_{\min }$⇔ M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi $\left(\text{Δ}\right)$ là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của
$\left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$
M là hình chiếu của I lên (P) ⇒$M\in \left(\text{Δ}\right)\Rightarrow M\left(-1+2t;1-t;1+2t\right)$
Lại có $M\in \left(P\right)$
$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\left(-1+2t\right)-\left(1-t\right)+2\left(1+2t\right)-8=0\\ \iff -2+4t-1+t+2+4t-8=0\\ \iff 9t-9=0\iff t=1\Rightarrow M\left(1;0;3\right)\end{array}$
Khi đó ta có
$\begin{array}{l}M{I}^2=4+1+4=9;I{A}^2=9+9+9=27;I{B}^2=4+4+4=13\\ \Rightarrow {\left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)}_{\min }=5.9+2.27+3.12=135\end{array}$
Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đường thẳng d có VTCP u→ và mặt phẳng (P) có VTPT n→. Nếu d//(P) thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n}$. Nếu d//(P) thì:

   A.$\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{n}\left(k\ne 0\right)$

   B. $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{u}$

   C. $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0$

   Đáp án chính xác

   D. $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

   Trả lời:

   Ta có:$d//\left(P\right)\iff \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\\ M\in d,M\notin \left(P\right)\end{array}\right.$
   Do đó nếu $d//\left(P\right)$ thì $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (α):4x+3y−7z+1=0. Phương trình tham số của d là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (α):4x+3y−7z+1=0. Phương trình tham số của d là:

   A.$\left\{\begin{array}{c}x=-1+4t\\ y=-2+3t\\ z=-3-7t\end{array}\right.$

   B. $\left\{\begin{array}{c}x=1+4t\\ y=2+3t\\ z=3-7t\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   C. $\left\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=2-4t\\ z=3-7t\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{c}x=-1+8t\\ y=-2+6t\\ z=-3-14t\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có VTPT là$\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(4;3;-7\right)$
   Do $d\perp \left(\alpha \right)$ nên có VTCP là $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(4;3;-7\right)$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho đường thẳng d:x−12=y+1−2=z3  và mặt phẳng (P):x+y−z−3=0. Tọa độ giao điểm của d và (P) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$ và mặt phẳng (P):x+y−z−3=0. Tọa độ giao điểm của d và (P) là:

   A.(−1;1;−3)

   Đáp án chính xác

   B.(1;2;0)

   C.(2;−2;3)

   D.(2;−2;−3)

   Trả lời:

   $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1-2t\\ z=3t\end{array}\right.$
   $\Rightarrow M(1+2t;-1-2t;3t)$
   $M=d\cap \left(P\right)\Rightarrow 1+2t-1-2t-3t-3=0\iff -3t-3=0\iff t=-1\Rightarrow M\left(-1;1;-3\right)$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho mặt phẳng (P):x−2y+3z−1=0 và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho mặt phẳng (P):x−2y+3z−1=0 và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây đúng?

   A.Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

   B.Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

   Đáp án chính xác

   C.Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P).

   D.Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

   Trả lời:

   Đường thẳng d đi qua M(1;2;3) và có VTCP $\overrightarrow{u_d}=\left(3;3;1\right)$
   Mặt phẳng (P) có VTPT$\overrightarrow{n_P}=\left(1;-2;3\right)$
   + $\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_P}=3-6+3=0\left(1\right)$
   + $1-2.2+3.3-1\ne 0$  hay$M\notin \left(P\right)\left(2\right)$
   Từ (1) và (2), suy ra d song song với (P).
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường thẳng d có phương trình d:x=2ty=1−tz=3+t và mặt phẳng (P) có phương trình (P):x+y+z−10=0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường thẳng d có phương trình $d:\left\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=1-t\\ z=3+t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P) có phương trình (P):x+y+z−10=0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

   A.d nằm trong (P)

   B.d song song với (P)

   C.d vuông góc với (P)

   D.d tạo với (P) một góc nhỏ hơn 450

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Giả sử M là giao điểm của (d) và (P). 
   Lấy $M\in \left(d\right)\Rightarrow M\left(2t;1-t;3+t\right)$
   Vì $M\in \left(P\right)\Rightarrow 2t+1-t+3+t-10=0\iff 2t-6=0\iff t=3$
   Suy ra ta có M(6;−2;6), suy ra dd cắt (P) tại 1 điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.
   Mặt khác giả sử $d\perp \left(P\right)\Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{1}{1}=\frac{-1}{1}$ (vô lý). Do đó loại C
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====