Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng Δ:x1=y+31=z2 . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 22 và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

A.(1;−2;2),I(5;2;10)

Đáp án chính xác

B.I(1;−2;2),I(0;3;0)

C.I(5;2;10),I(0;−3;0)

D.I(1;−2;2),I(−1;2;−2)

Trả lời:

Tâm I thuộc đường thẳng d nên $I\left(t;-3+t;2t\right)$
Phương trình mặt phẳng $\left(\text{Oxz}\right):y=0$
Ta có bán kính mặt cầu $IM=2\sqrt{2}$  mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính $HM=2$ suy ra $d\left(I,\left(Oxz\right)\right)=IH=\sqrt{I{M}^2-H{M}^2}=\sqrt{8-4}=2$
Ta có $|-3+t|=2\iff \left[\begin{array}{c}-3+t=2\\ -3+t=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}t=5\Rightarrow I(5;2;10)\\ t=1\Rightarrow I(1;-2;2)\end{array}\right.$


Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+(y+1)2+z2=R2. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2$. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là: 

   A.R=4

   B.R=2

   C. $R=\pm 1$

   D.R=1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+{(y+1)}^2+z^2=R^2\\ x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$
   (S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép $\iff t^2+1=R^2$ có nghiệm kép $\iff R^2-1=0\iff R=1$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng d:x−11=y2=z−21 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1)  và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ là:

   A. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=2$

   Đáp án chính xác

   B. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=9$

   C. ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=4$

   D. ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-1)}^2=24$

   Trả lời:

   Phương trình mặt cầu (S) có dạng ${(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=R^2$
   Phương trình tham số của d là: $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.$
   Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ
   $\left\{\begin{array}{c}{(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=R^2\\ x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.\left(*\right)$
   (S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi  (∗) có nghiệm kép
   $\iff {(t-1)}^2+{\left(2t\right)}^2+{(1+t)}^2=R^2$ có nghiệm kép
   $\iff 6t^2+2=R^2$ có nghiệm kép $\iff R^2=2$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+22+z−32=9 và đường thẳng d:x−1=y−22=z−43.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$và đường thẳng $d:x-1=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{3}$.  (d) cắt  (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng: 

   A. $AB=\frac{\sqrt{126}}{7}$

   Đáp án chính xác

   b. $AB=\frac{\sqrt{123}}{7}$

   c. $AB=\sqrt{\frac{126}{7}}$

   d. $AB=\frac{\sqrt{129}}{7}$

   Trả lời:

   Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được:$d:\left\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=2+2t\\ z=4+3t\end{array}\right.$
   Giả sử A là giao điểm của (d) và (P).
   Vì  $A\in d:\left\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=2+2t\\ z=4+3t\end{array}\right.$ nên ta có: $A\left(t+1;2+2t;4+3t\right)$
   Mặt khác $A\in \left(S\right)$ nên ta có
   ${(t+1-1)}^2+{(2+2t+2)}^2+{(4+3t-3)}^2=9$
   $\iff t^2+{(4+2t)}^2+{(1+3t)}^2=9$
   $\iff 14t^2+22t+8=0$
   $\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=-\frac{4}{7}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}A(0;0;1)\\ B\left(\frac{3}{7};\frac{6}{7};\frac{16}{7}\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2+{\left(\frac{6}{7}\right)}^2+{\left(\frac{16}{7}\right)}^2}=\frac{\sqrt{126}}{7}$
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0)  và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

   A. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=9$

   B. ${(x+3)}^2+{(y-2)}^2+z^2=25$

   C. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=64$

   D. ${(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=25$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $Oy\Rightarrow H(0;-2;0)$
   $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left(-3;0;0\right)\Rightarrow IH=3$
   Mặt khác ta có: $AH=\frac{AB}{2}=4$
   Suy ra $R^2=A{H}^2+H{I}^2=4^2+3^2=25$
   (S) có tâm I(3;−2;0) và bán kính R với $R^2=25$
    Suy ra: $\left(S\right):{(x-3)}^2+{(y+2)}^2+z^2=25$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+4z−16=0 và đường thẳng d:x−11=y+32=z2. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z-16=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

   A. $\left(P\right):2x-2y+z-8=0$

   B. $\left(P\right):2x-2y+z-8=0$

   C. $\left(P\right):2x-11y+10z-35=0$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(P\right):-2x+2y-z+11=0$

   Trả lời:

   Ta xét mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z+2)}^2=25$
   $\Rightarrow I(1;2;-2);R=5$
   Điểm A(1;−3;0) thuộc d nên $A\in \left(P\right)$ và $d(I;(P\left)\right)=5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====