1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Các khái niệm về số phức
- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1\)).
- Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
- Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
1.2. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
- \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
- \(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
- \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)
1.3. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a – bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad – bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a – bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).
1.4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)
Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)
Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)
- Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
- Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
- Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.\) Tìm môđun của số phức \(w=z+2\bar{z}.\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi\)
Ta có \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i\)
\(\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+(3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i\)
\(\Leftrightarrow 4a+(4a-2b)i=4+10i\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=4\\ 4a-2b=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)
Do đó \(z= 1- 3i.\)
Ta có: \(w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.\)
Suy ra môđun của w là \(\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\)
2.2. Bài tập 2
Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}\). Tính \(\left |z_1 -z_2 \right |.\)
Hướng dẫn giải
Đặt: \(z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i \ (a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)\)
\(\left\{\begin{matrix} \left | z_1 \right | =\left | z_2 \right |=1\\ \left | z_1 +z_2\right |=\sqrt{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2=1\\ (a_1+b_2)^2+(b_1+b_2)^2=2 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1\)
Vậy \(\left | z_1-z_2 \right |=1.\)
2.3. Bài tập 3
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện \(z+(2+i)\bar{z}=3+5i.\)
Hướng dẫn giải
Giả sử \(z=a+bi(a,b\in R)\)
Ta có
\(z+(1+i)\bar{z}=3+5i\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i\)
\(\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=3\\ a-b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)
Vậy z=2-3i.
Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.
2.4. Bài tập 4
Tìm số phức z sao cho (1 +2i)z là số thuần ảo và \(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}\).
Hướng dẫn giải
Giả sử \(z=a+bi \ (a,b\in R)\).
Khi đó \((1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i.\)
(1 +2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi: \(a-2b=0\Leftrightarrow a=2b\)
\(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | =\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.\)
Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: \(z=2+i;z=-2-i.\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm các số thực \(x, y\) sao cho:
a) \(3x + yi = 2y + 1 + (2-x)i\)
b) \(2x + y – 1 = (x – 2y – 5)i\)
Câu 2: Thực hiện các phép tính:
a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)
b) \({{2 + i\sqrt 2 } \over {1 – i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 – i\sqrt 2 }}\)
c) \({{(1 + i)(2 + i)} \over {2 – i}} + {{(1 + i)(2 – i)} \over {2 + i}}\)
Câu 3: Thực hiện các phép tính:
a) \({(2 + 3i)^2} – {(2 – 3i)^2}\)
b) \({{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 – i)}^3}}}\)
Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i
b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]
Câu 5: Thực hiện các phép tính sau:
a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]\)
b) \(\displaystyle (4 – 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}}\)
c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2\)
d) \(\displaystyle{{3 + i} \over {2 + i}} – {{4 – 3i} \over {2 – i}}\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – 2z + 5 = 0\) trên tập số phức. Tính \(P = {z_1}^4 + {z_2}^4.\)
A. P=-14
B. P=14
C. P=-14i
D. P=14i
Câu 2: Tính tổng S của các số phức z thỏa \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} – \frac{4}{5}i\) biết \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\)
A. S=2
B. S=2i
C. S=i
D. S=0
Câu 3: Phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2}\) là
A. 1 và 3
B. 1 và -3
C. -2 và \(2\sqrt 3 \)
D. 2 và \(-2\sqrt 3 \)
Câu 4: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện \(z + \left( {2 – i} \right)\overline z = 13 – 3i\) là
A. 3
B. 5
C. 17
D. \(\sqrt {17} \)
Câu 5: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện (3z – \(\overline z \))(1 + i) – 5z = 8i – 1 là
A. 1
B. 5
C. \(\sqrt {13} \)
D. 13
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số ý chính như sau:
- Nắm được định nghĩa số phức, phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Số phức liên hợp.
- Nắm vững được các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia số phức – Tính chất của phép cộng, nhân số phức.
- Nắm vững cách khai căn bậc hai của số thực âm. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.