Bài 3: Phép chia số phức
Tóm tắt lý thuyết
1. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a – bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad – bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a – bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).
2. Chú ý
Với số phức \(z\ne0\) ta có:
- Số phức nghịch đảo của \(z\): \({z^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)
- Thương của \(z’\) chia cho \(z\): \(\frac{{z’}}{z} = z’.{z^{ – 1}} = \frac{{z’.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z’.\overline z }}{{z.\overline z }}.\)
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 – 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).
Lời giải:
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{(3 + i)(3 – i)}} = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)
Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} – \frac{9}{{10}}i\).
Ví dụ 2:
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}}\).
Lời giải:
Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)
Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).
Ví dụ 3:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)
Lời giải:
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{10 – 15i}}{5} = 2 – 3i.\)
Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)
Ví dụ 4:
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)
Khi đó: \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z – 1)(2 – i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)
\(\Leftrightarrow (\overline z – 1)(4 – 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow (1 – 3i)\overline z = 2i + 4\)
\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 – 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ – 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow z = \frac{{ – 1}}{5} – \frac{7}{5}i\).
Ví dụ 5:
Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 – i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 – i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = – i.\)
Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( – i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { – i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)
Trả lời