Tìm $int{left(-5e^{-x}-3 cdot 3^x-1 right)text{d}x}$
$int -5e^{-x}dx = 5e^{-x}$. $int -3 cdot 3^x dx = -frac{3 cdot 3^x}{ln 3}$. $int -1 dx = -x$.
Tính $int (3x^2 + 2x) dx$.
Áp dụng tính chất tổng và nguyên hàm cơ bản: $int 3x^2 dx + int 2x dx = x^3 + x^2 + C$.
Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
Tam thức bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a neq 0$. Do đó chọn A.
Biết đồ thị hàm số $y=frac{6x-1}{x-5}$ có tiệm cận đứng là $x=m$ và tiệm cận ngang là $y=n$. Giá trị của $m+n$ bằng:
Tiệm cận đứng $x = --5 Rightarrow m = --5$.<br/>Tiệm cận ngang $y = 6 Rightarrow n = 6$.<br/>Tổng $m+n = -(-5) + 6 = {tinh: 6--5}$.
$f(x)=10x^8+8sin x+5ln |x|+10$ là một nguyên hàm của hàm số nào?
Tính đạo hàm $f'(x) = 10 cdot 8x^7 + 8cos x + frac{5}{x} = 80x^7 + 8cos x + frac{5}{x}$.
Tính tích phân $I = int_{0}^{frac{pi}{4}} (cos x - sin x) dx$.
Nguyên hàm là $sin x + cos x$. Thay cận: $(sinfrac{pi}{4} + cosfrac{pi}{4}) - (sin 0 + cos 0) = (frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}) - 1 = sqrt{2} - 1$.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 1), B(3; 0; 3)$. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^2 + MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
$MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của trung điểm $I(2;1;2)$ của $AB$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Vậy $M(2;1;0)$.
Tìm $int{dfrac{5x^3+2x^{2}-3}{x^{3}}text{d}x}$
Chia tử cho mẫu: $5 + frac{2}{x} - frac{3}{x^3}$. Nguyên hàm là $5x + 2ln|x| + frac{3}{2x^2} + C$.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường tròn (C) có tâm $I(1; -2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $Delta: 3x + 4y - 5 = 0$ là:
Đường tròn tiếp xúc với $Delta$ nên bán kính $R = d(I, Delta) = frac{|3(1) + 4(-2) - 5|}{sqrt{3^2 + 4^2}} = frac{|-10|}{5} = 2$. Suy ra $R^2 = 4$. Phương trình là: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $Aleft( 2;-1;4 right),Bleft( 1;3;2 right),Cleft( -2;7;6 right)$ và $Mleft( a;0;b right),Pleft( {{x}_{P}};{{y}_{P}};{{z}_{P}} right)$ với ${{x}_{P}};{{y}_{P}};{{z}_{P}}in mathbb{Z}$ và $P$ thuộc đoạn thẳng $AC$.
a) Đúng.
b) Sai. Vì $BC=sqrt{{{left( -2-1 right)}^{2}}+{{left( 7-3 right)}^{2}}+{{left( 6-2 right)}^{2}}}=sqrt{41}$.
c) Sai. Vì $Ileft( 0;3;5 right)$ là trung điểm của $AC$, dễ thấy $Pequiv I$ là một điểm cần tìm. Vì mỗi điểm $P$ thuộc đoạn $AI,Pne I$ thoả mãn đề bài ta luôn có một điểm $P$ nữa thuộc đoạn $CP,Pne I$, điều nay có được do tính chất đối xứng của đoạn thẳng $AC$ qua $Ileft( 0;3;5 right)$.
Suy ra số điểm $P$ thoả mãn đề bài là số lẻ.
d) Đúng.
Ta có $Mleft( a;0;b right)in left( Oxz right)$ và hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với mặt phẳng $left( Oxz right)$ nên $MA+MB$ nhỏ nhất khi $M=ABcap left( Oxz right)$ hay $A,B,M$ thẳng hàng, khi đó $overrightarrow{AM},overrightarrow{AB}$ cùng phương.
$overrightarrow{AB}=left( -1;4;-2 right),overrightarrow{AM}=left( a-2;1;b-4 right)$.
Suy ra $overrightarrow{AM},overrightarrow{AB}$ cùng phương khi: $dfrac{a-2}{-1}=dfrac{1}{4}=dfrac{b-4}{-2}Rightarrow left{ begin{array}{l} a=dfrac{7}{4} b=dfrac{7}{2} end{array} right.Rightarrow 2a+b=7$.