Sách bài tập Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Tích phân

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Tích phân

Bài 26 trang 19 SBT Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x), G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. F(a) – F(b) = G(a) – G(b).

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right).$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=G\left(b\right)-G\left(a\right).$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì F(x), G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] nên ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)-G\left(a\right).$

Vậy phát biểu C là phát biểu sai. Chọn C.

Bài 27 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}.$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=\alpha \left(b^{\alpha -1}-a^{\alpha -1}\right).$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ (α ≠ −1).

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha }$ (α ≠ 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Với α ≠ −1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{a^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$

Bài 28 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\sin a-\sin b.$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\sin b-\sin a.$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\cos a-\cos b.$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\cos b-\cos a.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=$$-\cos b-(-\cos a)=\cos a-\cos b.$

Bài 29 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

Biết f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên [a; b].

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\cot a-\cot b$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\cot b-\cot a$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\tan a-\tan b$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\tan b-\tan a$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=$$-\cot b-(-\cot a)=\cot a-\cot b$

Bài 30 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^{b+1}-e^{a+1}.$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^{a+1}-e^{b+1}.$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^b-e^a.$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^a-e^b.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_a^b=e^b-e^a.$

Bài 31 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx$ bằng:

A. lnb – lna.

B. |lnb| − |lna|.

C. ln|b| − ln|a|.

D. ln|a| − ln|b|.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx$ = ${\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|.$

Bài 32 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-3}{x^3}dx$ có giá trị bằng:

A. $\frac{9}{8}$

B. $-\frac{45}{64}$

C. $\frac{15}{8}$

D. –$\frac{9}{8}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-3}{x^3}dx$=$-3\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-3}dx={\left.\frac{3}{2}{x}^{-2}\right|}_1^2=\frac{3}{2}{.2}^{-2}-\frac{3}{2}\cdot 1^{-2}=-\frac{9}{8}.$

Bài 33 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$ có giá trị bằng:

A. 2 − $\sqrt{2}$

B. 2 + $\sqrt{2}$

C. $\frac{-\sqrt{2}+8}{20}$

D. $\frac{-\sqrt{2}-8}{20}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$=$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx$=$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\frac{-3}{2}}dx={\left.\frac{-2}{\sqrt{x}}\right|}_1^2=\frac{-2}{\sqrt{2}}-\left(\frac{-2}{\sqrt{1}}\right)=-\sqrt{2}+2.$

Bài 34 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=4$ thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 16.

B. 4.

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D 

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)dx$ = $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2.4=8$

Bài 35 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-2$ và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=1$ thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. −3.

B. −1.

C. 1.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = −2 + 1 = −1.

Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx = -1$

Bài 36 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx=1$. Khi đó $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ bằng:

A. 4.

B. 2.

C. −2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{2}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 3 + 1 = 4.

Vậy $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=4$

Bài 37 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho f(x) là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [a; b].

a) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f^{‘}}^{‘}\left(x\right)dx=f^{‘}\left(b\right)-f^{‘}\left(a\right).$	Đ	S
b) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f^{‘}}^{‘}\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right).$	Đ	S
c) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f^{‘}}^{‘}\left(x\right)dx=f^{‘}\left(a\right)-f^{‘}\left(b\right).$	Đ	S
d) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f^{‘}}^{‘}\left(x\right)dx=f\left(a\right)-f\left(b\right).$	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) S

d) S

Ta có: f(x) có đạo hàm là f'(x), f(x) có đạo hàm cấp hai là f”(x), tức là [f'(x)]’ = f”(x).

Do đó, f'(x) là một nguyên hàm của f”(x).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f^{‘}}^{‘}\left(x\right)dx={\left.f^{‘}\left(x\right)\right|}_a^b=f^{‘}\left(b\right)-f^{‘}\left(a\right).$

Bài 38 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Nêu một ví dụ chỉ ra rằng $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx\ne \frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}{f\left(x\right)dx}$ với f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b], g(x) ≠ 0 ∀x ∈ [a; b]

Lời giải:

Lấy f(x) = 1, g(x) = x, a = 1, b = 2. Ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx$= $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2$

$\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}{f\left(x\right)dx}$ = $\frac{\underset{1}{\overset{2}{\int }}}{1}=\frac{{\left.x\right|}_1^2}{{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_1^2}=\frac{2-1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$

Ta có: ln2 ≠ $\frac{2}{3}$ nên $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx\ne \frac{\underset{1}{\overset{2}{\int }}}{1}$

Bài 39 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=6$, G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên đoạn [−1; 2] và G(−1) = 8. Tính G(2).

Lời giải:

Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên đoạn [−1; 2] nên ta có:

$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=G\left(2\right)-G(-1)$ , suy ra G(2) – G(−1) = 6 hay G(2) – 8 = 6, suy ra G(2) = 14.

Bài 40 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=5$ và $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=-4$. Tính:

a) $\underset{1}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)dx$;

b) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}-4f\left(x\right)dx$;

c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{-2g\left(x\right)}{3}dx$;

d) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$;

e) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

g) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx$

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{1}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=-5$

Vậy $\underset{1}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)dx = –5$

b) Ta có: $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}-4f\left(x\right)dx = -4\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx = -4.5 = -20$

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}-4f\left(x\right)dx = –20$

c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{-2g\left(x\right)}{3}dx$ = $\frac{-2}{3}\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = $\frac{-2}{3}.(-4)=\frac{8}{3}.$

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{-2g\left(x\right)}{3}dx =\frac{8}{3}$

 d) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 5 + (−4) = 1

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx = 1$

e) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 5 – (−4) = 9

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx = 9$

g) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}3f\left(x\right)dx-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}5g\left(x\right)dx$

$3\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-5\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 3.5 – 5. (−4) = 35

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx = 35$

Bài 41 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=2$, $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=-5$. Tính tích phân $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

Ta có: $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay 2 = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ + (−5).

Suy ra $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 2 + 5 = 7.

Vậy $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx = 7$

Bài 42 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −6t + 18 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?

Lời giải:

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là −6t + 18 = 0 hay t = 3 (s).

Quãng đường mà ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}(-6t+18)dt={\left.(-3t^2+18t)\right|}_0^3$ = 27 (m).

Bài 43 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 3.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm 1 giây đến 5 giây.

Lời giải:

Đồ thị hàm số biểu diễn vận tốc theo thời gian là đường thẳng qua gốc tọa độ, nên ta có: v(t) = at (a ∈ ℝ).

Khi t = 5 thì v = 10 nên ta có: 10 = 5a hay a = 2.

Vậy v(t) = 2t.

a) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên là:

 $\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}2tdt={\left.t^2\right|}_0^5$ = 25 (m).

b) Quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm 1 giây đến 5 giây là:

$\underset{1}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{1}{\overset{5}{\int }}2tdt={\left.t^2\right|}_1^5$ = 24 (m).

Bài 44 trang SBT Toán 12 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 4, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 2cost, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng cm/s. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng.

Tính quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng theo đơn vị centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2\cos tdt={\left.2\sin t\right|}_0^1=2\sin 1\approx \mathrm{1,68}$ (cm).

Lý thuyết Tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$  và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ .

Gọi:$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$$={\left.x^2\right|}_2^3$  = 3² – 2² = 5. 

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$$={\left.e^x\right|}_1^2$  = e² – e¹ = e² – e.

2. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

Ví dụ 2. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$ . Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx=5\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=5\cdot \left(-3\right)=-15$ .

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}1dx$$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^2+{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^2-{\left.x\right|}_0^2$

                                    $=\left(\frac{8}{3}-0\right)+\left(\frac{4}{2}-0\right)-\left(2-0\right)=\frac{8}{3}$ .

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

 $={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2$$=\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]+\left[\left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$= 1.

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ .

Ví dụ 5. Tính:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$$={\left.x^4\right|}_{-1}^1$ = 1⁴ – (– 1)⁴ = 0.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$$={\left.\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right|}_1^2=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3}+1}$.

3.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{2}{\overset{e}{\int }}\frac{6}{5x}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $=\frac{6}{5}{\left.\ln \left|x\right|\right|}_2^e=\frac{6}{5}\left(\ln \left|e\right|-\ln \left|2\right|\right)=\frac{6}{5}\left(1-\ln 2\right)$ .

3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=-\cos b-\left(-\cos a\right)=\cos a-\cos b$ .

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=-\cot b-\left(-\cot a\right)=\cot a-\cot b$.

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$.

Ví dụ 7. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$ ;

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{5}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

3.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$ .

Ví dụ 8. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{5}^{x}dx$ ;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2\cdot 3^x+e^x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 3: Tích phân

Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng