Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 16 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \sin (-x)dx$ bằng:

A. sinx + C.

B. cosx + C.

C. −sinx + C.

D. −cosx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int \sin (-x)dx=\int \left(-\sin x\right)dx=\int \sin xdx$= −(−cosx) + C = cosx + C.

Bài 17 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \cos (-x)dx$ bằng:

A. sinx + C.

B. cosx + C.

C. −sinx + C.

D. −cosx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \cos (-x)dx=\int \cos xdx$=sinx + C.

Bài 18 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \frac{1}{{\sin }^2(-x)}dx$ bằng:

A. tanx + C.

B. cotx + C.

C. −tanx + C.

D. −cotx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int \frac{1}{{\sin }^2(-x)}dx=\int \frac{1}{{\left(-\sin x\right)}^2}dx$=$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C.$

Bài 19 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int \frac{1}{{\cos }^2(-x)}dx$ bằng:

A. tanx + C.

B. cotx + C.

C. −tanx + C.

D. −cotx + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \frac{1}{{\cos }^2(-x)}dx=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=$ tanx + C.

Bài 20 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: $\int {17}^{x}dx$ bằng:

A. 17^xln17.

B. $\frac{{17}^x}{\ln 17}$

C. 17^xln17 + C.

D. $\frac{{17}^x}{\ln 17}$ + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int {17}^{x}dx=\frac{{17}^x}{\ln }+C$.

Bài 21 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $\frac{x^7+8}{x}$.

a) f(x) = x6 + $\frac{8}{x}$	Đ	S
b) $\int f\left(x\right)dx=\int x^{6}dx-\int \frac{8}{x}dx$	Đ	S
c) $\int f\left(x\right)dx=\int x^{6}dx+\int \frac{8}{x}dx$	Đ	S
d) $\int f\left(x\right)dx=\frac{x^7}{7}+8\ln \left|x\right|.$	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Ta có: f(x) $=\frac{x^7+8}{x}=\frac{x^7}{x}+\frac{8}{x}=x^6+\frac{8}{x}$

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^6+\frac{8}{x}\right)dx=\int x^{6}dx+\int \frac{8}{x}dx$

$=\int x^{6}dx+8\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^7}{7}+8\ln \left|x\right|+C.$

Bài 22 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $\frac{\sin 3x+\sin x}{\sin 2x}$.

a) f(x) = $\frac{2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}}{\sin 2x}$	Đ	S
b) f(x) = 2cosx.	Đ	S
c) $\int f\left(x\right)dx=2\int \cos xdx.$	Đ	S
d) $\int f\left(x\right)dx=-2\sin x+C.$	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

Ta có: f(x) = $\frac{\sin 3x+\sin x}{\sin 2x}=\frac{2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}}{\sin 2x}=\frac{2\sin 2x\cos x}{\sin 2x}=2\cos x$

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int 2\cos xdx=2\int \cos xdx$ = 2sinx + C.

Bài 23 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x^{\frac{1}{3}}dx$;

b) $\int \sqrt{\frac{1}{x^7}}dx$;

c) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{\frac{4}{5}}}}dx$;

d) $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx$;

e) $\int \frac{(x-3)(x+1)}{x}dx$;

g) $\int \left(3x^2-\frac{4}{x}\right)(2x+5)dx$.

Lời giải:

a) $\int x^{\frac{1}{3}}dx$ = $\frac{1}{\frac{1}{3}+1}{x}^{\frac{1}{3}+1}$ + C = $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}$ + C.

b) $\int \sqrt{\frac{1}{x^7}}dx$ = $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}dx$ = $\int x^{\frac{-7}{2}}dx$ = $\frac{-2}{5}{x}^{\frac{-5}{2}}+C$

c) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{\frac{4}{5}}}}dx$ = $\int \frac{1}{x^{\frac{4}{15}}}dx$ = $\int x^{\frac{-4}{15}}dx$ = $\frac{15}{11}{x}^{\frac{11}{15}}+C$

d) $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx$ = $\int \left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)dx$ = $\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}-2x+C.$

e) $\int \frac{(x-3)(x+1)}{x}dx$ = $\int \frac{x^2-2x-3}{x}dx$

$\int \left(x-2-\frac{3}{x}\right)dx$ = $\frac{x^2}{2}-2x-3\ln \left|x\right|+C$

g) $\int \left(3x^2-\frac{4}{x}\right)(2x+5)dx$ = $\int \left(6x^3+15x^2-8-\frac{20}{x}\right)dx$

= $\frac{3}{2}{x}^4+5x^3-8x-20\ln \left|x\right|+C.$

Bài 24 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int e^{5x}dx$;

b) $\int \frac{1}{{2024}^x}dx$;

c) $\int (2^x+x^2)dx$;

d) $\int \left(2^x{.3}^{2x+1}\right)dx$;

e) $\int \frac{3^x+4^x+1}{5^x}dx$.

Lời giải:

a) $\int e^{5x}dx=\int {\left(e^5\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^5\right)}^x}{\ln }+C$$=\frac{e^{5x}}{5}+C.$

b) $\int \frac{1}{{2024}^x}dx=\int {\left(\frac{1}{1024}\right)}^{x}dx=$$\frac{{\left(\frac{1}{2024}\right)}^x}{\ln \frac{1}{2024}}+C=\frac{-1}{{2024}^x.\ln 2024}+C$

c) $\int (2^x+x^2)dx=\int 2^{x}dx+\int x^{2}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{x^3}{3}+C$

d) $\int \left(2^x{.3}^{2x+1}\right)dx=\int \left(2^x{.3}^{2x}.3\right)dx=3\int \left(2^x{.9}^x\right)dx=3\int {18}^{x}dx$=$\frac{{3.18}^x}{\ln 18}+C.$

e) $\int \frac{3^x+4^x+1}{5^x}dx=\int \left(\frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}+\frac{1}{5^x}\right)dx$

$=\int {\left(\frac{3}{5}\right)}^{x}dx+\int {\left(\frac{4}{5}\right)}^{x}dx+\int {\left(\frac{1}{5}\right)}^{x}dx$

$=\frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^x}{\ln \frac{3}{5}}+\frac{{\left(\frac{4}{5}\right)}^x}{\ln \frac{4}{5}}+\frac{{\left(\frac{1}{5}\right)}^x}{\ln \frac{1}{5}}+C$

$=\frac{3^x}{5^x(\ln 3-\ln 5)}+\frac{4^x}{5^x(\ln 4-\ln 5)}-\frac{1}{5^x\ln 5}+C.$

Bài 25 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int (5\sin x-6\cos x)dx$;

b) $\int {\sin }^{2}2xdx+\int {\cos }^{2}2xdx$;

c) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx$;

d) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$;

e^*) $\int {\cos }^4\frac{x}{2}dx-\int {\sin }^4\frac{x}{2}dx$;

g^*) $\int {\tan }^{2}xdx$.

Lời giải:

a) $\int (5\sin x-6\cos x)dx=5\int \sin xdx-6\int \cos xdx$= −5cosx – 6sinx + C.

b) $\int {\sin }^{2}2xdx+\int {\cos }^{2}2xdx=\int \left({\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x\right)dx$ = x + C.

c) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1-\cos x}{2}dx$=$\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+C$

d) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$ = $\int \left({\sin }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right)dx$

                                       = $\int \left(1+\sin x\right)dx$ = x – cosx + C.

e^*) $\int {\cos }^4\frac{x}{2}dx-\int {\sin }^4\frac{x}{2}dx$ = $\int \left({\cos }^4\frac{x}{2}-{\sin }^4\frac{x}{2}\right)dx$

= $\int \left({\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$

= $\int \cos xdx$ = sinx + C.

g^*) $\int {\tan }^{2}xdx = \int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx$ = $\int \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx$ = $\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$ = tanx – x + C.

Lý thuyết Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

1.1. Hàm số luỹ thừa

● Cho số thực α. Hàm số y = x^α được gọi là hàm số luỹ thừa.

Ví dụ 1. Các hàm số y = x³; y = x^{– 2}; y = $x^{\frac{1}{4}}$ ; y = $x^{\sqrt{5}}$  là những hàm số lũy thừa.

● Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể như sau:

+ Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ;

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0};

+ Với α không nguyên, tập xác định là (0; + ∞).

● Định lí: Hàm số lũy thừa y = x^α (α ∈ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)’ = αx^{α – 1}.

1.2. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ .

Ví dụ 2. Tìm:

Hướng dẫn giải

2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ .

Ví dụ 3. Tìm:

a) $\int \frac{2}{x}dx$ ;

b) $\int \frac{5}{3x}dx$

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{2}{x}dx$$=2\int \frac{1}{x}dx=2\ln \left|x\right|+C$ .

b) $\int \frac{5}{3x}dx$$=\frac{5}{3}\int \frac{1}{x}dx=\frac{5}{3}\ln \left|x\right|+C$ .

3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 4. Tìm:

Hướng dẫn giải

4. Nguyên hàm của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ .

Nhận xét: Áp dụng công thức trên, ta có: $\int e^{x}dx=e^x+C$ .

Ví dụ 5. Tìm:

Hướng dẫn giải

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 3: Tích phân

Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng