Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Nguyên hàm

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài 1 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {\left(x-2\right)}^{2}dx$

b) $\int \left(x-1\right)\left(3x+1\right)dx$

c) $\int \sqrt[3]{x^2}dx$

d) $\int \frac{{\left(1-x\right)}^2}{\sqrt{x}}dx$

Lời giải:

a) $\int {\left(x-2\right)}^{2}dx=\int \left(x^2-4x+4\right)dx$

$=\int x^{2}dx-\int 4xdx+\int 4dx$

$=\frac{x^3}{3}-2x^2+4x+C$

b) $\int \left(x-1\right)\left(3x+1\right)dx=\int \left(3x^2-2x-1\right)dx$

$=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx-\int 1dx$

 = x³ – x² + x + C.

c) $\int \sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}+C=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C.$

d) $\int \frac{{\left(1-x\right)}^2}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{x^2-2x+1}{\sqrt{x}}dx$

$=\int \left(x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

$=\int \left(x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right)dx$

$=2x^{\frac{1}{2}}-2.\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$

$=2\sqrt{x}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}+C.$

Bài 2 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(5^x+1\right)\left(5^x-1\right)dx$

b) $\int e^{-\mathrm{0,5}x}dx$

c) $\int 2^{x-1}{.5}^{2x+1}dx$

Lời giải:

a) $\int \left(5^x+1\right)\left(5^x-1\right)dx=\int \left(5^{2x}-1\right)dx$

$=\int 5^{2x}dx-\int 1dx=\int {25}^{x}dx-\int 1dx$

$=\frac{{25}^x}{\ln 25}-x+C=\frac{{25}^x}{2\ln 5}-x+C.$

b) $\int e^{-\mathrm{0,5}x}dx=\int {\left(e^{-\mathrm{0,5}}\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^{-\mathrm{0,5}}\right)}^x}{\ln e^{-\mathrm{0,5}}}+C$

$=\frac{e^{-\mathrm{0,5}x}}{-\mathrm{0,5}}+C=-2e^{-\mathrm{0,5}x}+C$

c) $\int 2^{x-1}{.5}^{2x+1}dx=\int \frac{2^x}{2}{.5}^{2x}.5dx=\int \frac{5}{2}{.2}^x{.25}^{x}dx$

$=\frac{5}{2}\int {50}^{x}dx=\frac{5}{2}.\frac{{50}^x}{\ln 50}+C.$

Bài 3 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{{\cos }^{2}x}{1-\mathrm{s}\text{inx}}dx$

b) $\int \left(1+3{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$

c) $\int \frac{2{\cos }^{3}x+3}{{\cos }^{2}x}dx$

Lời giải:

a) $\int \frac{{\cos }^{2}x}{1-\sin \text{x}}dx=\int \frac{1-{\sin }^{2}x}{1-\sin \text{x}}dx$

$=\int \frac{\left(1-\sin \text{x}\right)\left(1+\sin \text{x}\right)}{\left(1-\sin \text{x}\right)}dx$

$=\int \left(1+\sin \text{x}\right)dx=x-\cos x+C.$

b) $\int \left(1+3{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx=\int \left(1+3.\frac{1-\cos x}{2}\right)dx$

$=\int \left(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\cos x\right)dx$

$=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\sin \text{x}+C$

c) $\int \frac{2{\cos }^{3}x+3}{{\cos }^{2}x}dx=\int \left(2\cos x+\frac{3}{{\cos }^{2}x}\right)dx$

$=\int 2\cos xdx+\int \frac{3}{{\cos }^{2}x}dx$

$=2\sin x+3\tan x+C$

Bài 4 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số f(x), biết rằng:

a) f'(x) = 2x³ – 4x + 1, f(1) = 0;

b) f'(x) = 5cosx – sinx, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Lời giải:

a) $f\left(x\right)=\int f^{‘}\left(x\right)dx$

$=\int \left(2x^3-4x+1\right)dx$

$\frac{x^4}{2}-2x^2+x+C.$

Mà f(1) = 0 $\Rightarrow \frac{1}{2}-2+1+C=0\Rightarrow C=\frac{1}{2}$

Vậy $f\left(x\right)=\frac{x^4}{2}-2x^2+x+\frac{1}{2}.$

b) Ta có: $f\left(x\right)=\int f^{‘}\left(x\right)dx$

$=\int \left(5\cos x-\sin \text{x}\right)dx$

$=5\sin x+\cos x+C$

Mà $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ nên $5\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+C=1$ hay $5+C=1$ suy ra  C = −4.

Vậy f(x) = 5sinx + cosx – 4.

Bài 5 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 2) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là

$\frac{1-x}{x^2}$ với x > 0. Tìm hàm số f(x).

Lời giải:

Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là $\frac{1-x}{x^2}$ với x > 0 hay $f^{‘}\left(x\right)=\frac{1-x}{x^2}$ với x > 0 và f(1) = 2.

Ta có: $f\left(x\right)=\int f^{‘}\left(x\right)dx=\int \frac{1-x}{x^2}dx$

$=\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)dx=-\frac{1}{x}-\ln x+C.$

Mà f(1) = 2 nên −1 – ln1 + C = 2 hay C = 3.

Vậy $f\left(x\right)-\frac{1}{x}-\ln x+3.$

Bài 6 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = $\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)$. Từ đó, tìm $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx$.

Lời giải:

Ta có:

$F^{‘}\left(x\right)={\left[\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)\right]}^{‘}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}.{\left(\sqrt{x^2+4}-x\right)}^{‘}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}.\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}-1\right)$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}.\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}$

$=-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\left(x\in ℝ\right).$

Suy ra $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int \left[-F^{‘}\left(x\right)\right]dx=-\int F^{‘}\left(x\right)dx$

$=-F\left(x\right)+C=-\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)+C.$

Vậy $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx=-\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)+C.$

Bài 7 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động thẳng dọc theo một đường thẳng (có gắn trục tọa độ Ox với độ dài đơn vị bằng 1 m). Biết rằng vật xuất phát từ vị trí ban đầu là gốc tọa độ và chuyển động với vận tốc v(t) = 8 – 0,4t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây (t ≥ 0).

a) Xác định tọa độ x(t) của vật tại thời điểm t, t ≥ 0.

c) Tại thời điểm nào thì vật đi qua gốc tọa độ (không tính thời điểm ban đầu)?

Lời giải:

a) Ta có: $x\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(8-\mathrm{0,4}t\right)dt$ = 8t – 0,2t² + C.

Ban đầu vật ở gốc tọa độ nên x(0) = 0, suy ra C = 0.

Vậy x(t) = 8t – 0,2t² với t ≥ 0.

b) Ta có: x(t) = 0 ⇒ 8t – 0,2t² = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 40.

Do không tính thời điểm ban đầu nên vật đi qua gốc tọa độ tại thời điểm t = 40 giây.

Bài 8 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi

 $P^{‘}\left(t\right)=150\sqrt{t}$ (cá thể/ngày) với 0 ≤ t ≤ 10,

trong đó P(t) là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1 000 cá thể.

a) Xác định hàm số P(t).

b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải:

a $P\left(t\right)=\int P^{‘}\left(t\right)dt=\int 150\sqrt{t}dt=150\int t^{\frac{1}{2}}dt$

$=150.\frac{2}{3}.t^{\frac{3}{2}}+C=100t\sqrt{t}+C$

Theo giả thiết, ta có P(0) = 1 000, suy ra C = 1 000.

Do đó, $P\left(t\right)=100t\sqrt{t}+1000$

b) P(5) = 100.5.$\sqrt{5}$ + 1000 = 500$\sqrt{5}$ + 1000 ≈ 2 100 (cá thể).

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Ta có F'(x) = ${\left(\frac{x^4}{4}+x\right)}^{‘}=x^3+1$ = f(x) với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

● Định lí: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

+ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)dx$ và viết

$\int f\left(x\right)dx$ = F(x) + C.

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2. Tìm $\int \cos xdx$ trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Vì (sin x)’ = cos x với mọi x thuộc ℝ nên F(x) = sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy $\int \cos xdx$ = sin x + C trên ℝ.

Chú ý:

+ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: $\int f^{‘}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

2.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

• $\int 0dx=C$;

• $\int 1dx=x+C$ ;

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ (α ≠ – 1).

Chú ý: Người ta thường viết $\int dx$ thay cho $\int 1dx$.

Ví dụ 3. Tìm:

a) $\int x^{8}dx$;

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$;

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int x^{8}dx$$=\frac{1}{9}{x}^9+C$.

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$$=\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}+C$.

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$$=\int x^{-5}dx=\frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=\frac{x^{-4}}{-4}+C=\frac{-1}{4x^4}+C$.

2.2. Nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x}$

• Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) =  với x ≠ 0.

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(3) = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ nên F(x) = ln|x| + C (x ≠ 0).

Do F(3) = 1 nên ln|3| + C = 1 hay C = 1 – ln3.

Vậy F(x) = ln|x| + 1 – ln3 (x ≠ 0). 

2.3. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

• $\int \cos xdx=\sin x+C$ ;

• $\int \sin xdx=-\cos x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$ .

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x thỏa mãn

F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0.

Hướng dẫn giải

Vì $\int \sin xdx=-\cos x+C$ nên F(x) = – cos x + C.

Do F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0 nên (– cos 0 + C) + (– cos$\frac{\pi }{2}$ + C) = 0, suy ra C = $\frac{1}{2}$.

Vậy F(x) = – cos x + $\frac{1}{2}$.

2.4. Nguyên hàm của hàm số mũ

• $\int e^{x}dx=e^x+C$ ;

• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (a > 0, a ≠ 1).

Ví dụ 6. Tìm:

a) $\int 4^{x}dx$ ;

b) $\int e^{3x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int 4^{x}dx$$=\frac{4^x}{\ln 4}+C$ . 

b) $\int e^{3x}dx$$=\int {\left(e^3\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln \left(e^3\right)}+C=\frac{e^{3x}}{3}+C$ .

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Tính chất 1. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có:

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$, với k ∈ ℝ, k ≠ 0.

Ví dụ 7. Tìm:

a) $\int \frac{4}{9x}dx$ ;

b) $\int 5\sin xdx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{4}{9x}dx$$=\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$ .

b) $\int 5\sin xdx$$=5\int \sin xdx=-5\cos x+C$ .

• Tính chất 2. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có:

• $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

• $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 8. Tìm $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$$=4\int x^{3}dx-4\int xdx+5\int dx$

= x4 – 2×2 + 5x + C.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng