Lời giải
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $CD$ mà người nông dân đi tới từ $A$.
Gọi $x$ là khoảng cách $DE$($0 \le x \le 6$).
Khoảng cách đi bộ trên đường là $EC = DC – DE = 6 – x$.
Ta có $AE^2 = 2^2 + x^2 = 4 + x^2$
Suy ra $AE = \sqrt{4 + x^2}$ (km)
Lại có $EC = 6 – x$ (km)
Thời gian người nông dân đi từ $A$ tới $E$ là ${{t}_{AE}}=\frac{\sqrt{4+{{x}^{2}}}}{4}$ (giờ)
Thời gian người nông dân đi từ $E$ tới $C$ là ${{t}_{EC}}=\frac{6-x}{8}$ (giờ)
Tổng thời gian người nông dân đi từ $A$ đến $C$ là tổng của hai khoảng thời gian trên:
$T(x) = \frac{\sqrt{4 + x^2}}{4} + \frac{6 – x}{8}$
Ta có $T'(x) = \frac{x}{4 \sqrt{4 + x^2}} – \frac{1}{8}$.
${T}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{x}{4\sqrt{4+{{x}^{2}}}}-\frac{1}{8}=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Vì $0 \le x \le 6$ nên suy ra $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Bảng biến thiên
