Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Nguyên hàm

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Hoạt động khởi động trang 6 Toán 12 Tập 2: Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s². Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 10dt=10t+C$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int 10tdt=5t^2+C$.

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t² (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t² mét.

Hoạt động khám phá 1 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên ℝ. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).

Lời giải:

Ta có F(x) = x² vì (x²)’ = 2x.

Hoạt động khám phá 2 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 3x² xác định trên ℝ.

a) Chứng minh rằng F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?

c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?

Lời giải:

a) Ta có F'(x) = (x³)’ = 3x² = f(x).

Do đó F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Có H(x) = F(x) + C = x³ + C.

Có H'(x) = (x³ + C)’ = 3x² = f(x).

Do đó hàm số H(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

c) Có (G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.

Vì (G(x) – F(x))’ = 0 nên G(x) – F(x) là một hằng số.

Hay G(x) = F(x) + C, C là hằng số bất kì.

Thực hành 1 trang 7 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

Lời giải:

Có F'(x) = (e^{2x + 1})’ = e^{2x + 1}.(2x + 1)’ = 2e^{2x + 1} = f(x).

Vậy F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

Hoạt động khám phá 3 trang 8 Toán 12 Tập 2: a) Giải thích tại sao $\int 0dx=C$ và $\int 1dx=x+C$.

b) Tìm đạo hàm của hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\left(\alpha \ne -1\right)$. Từ đó, tìm $\int x^{\alpha }dx$.

Lời giải:

a) Vì (C)’ = 0 nên $\int 0dx=C$.

Vì (x + C)’ = 1 nên $\int 1dx=x+C$.

b) Có $F^{‘}\left(x\right)={\left(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right)}^{‘}=\frac{\left(\alpha +1\right)x^{\alpha }}{\alpha +1}=x^{\alpha }$.

Do đó $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\left(\alpha \ne -1\right)$.

Thực hành 2 trang 8 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x^{4}dx$;

b) $\int \frac{1}{x^3}dx$;

c) $\int \sqrt{x}dx\left(x>0\right)$.

Lời giải:

a) $\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C$

b) $\int \frac{1}{x^3}dx$$=\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2}{x}^{-2}+C=\frac{-1}{2x^2}+C$

c) $\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx$$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

Hoạt động khám phá 4 trang 8 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số F(x) = ln|x| với x ≠ 0.

a) Tìm đạo hàm của F(x).

b) Từ đó, tìm $\int \frac{1}{x}dx$.

Lời giải:

a) Với x > 0 thì F(x) = lnx Þ F'(x) = $\frac{1}{x}$.

Với x < 0 thì F(x) = ln(−x) $\Rightarrow F^{‘}\left(x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^{‘}}{-x}=\frac{1}{x}$.

Vậy $F^{‘}\left(x\right)=\frac{1}{x},x\ne 0$.

b) Có $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Hoạt động khám phá 5 trang 9 Toán 12 Tập 2: a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.

b) Từ đó, tìm $\int \cos xdx,\int \sin xdx,\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$ và $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

Lời giải:

a) Ta có (sinx)’ = cosx, (−cosx)’ = sinx, ${\left(\tan x\right)}^{‘}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ , ${\left(-\cot x\right)}^{‘}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

b) $\int \cos xdx=\sin x+C,\int \sin xdx=-\cos x+C,$

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ , $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Thực hành 3 trang 9 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cosx thỏa mãn $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

Lời giải:

Có $F\left(x\right)=\int \cos xdx=\sin x+C$.

Vì $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ nên $\sin 0+C+\sin \frac{\pi }{4}+C=0\iff 2C=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff C=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Vậy $F\left(x\right)=\sin x-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Hoạt động khám phá 6 trang 9 Toán 12 Tập 2: a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = e^x, $y=\frac{a^x}{\ln a}$ với a > 0, a ≠ 1.

b) Từ đó, tìm $\int e^{x}dx$ và $\int a^{x}dx$ (a > 0, a ≠ 1).

Lời giải:

a) Có (e^x)’ = e^x, ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{‘}=\frac{a^x.\ln a}{\ln a}=a^x$, a > 0, a ≠ 1.

b) $\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ , (a > 0, a ≠ 1).

Thực hành 4 trang 9 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int 3^{x}dx$

b) $\int e^{2x}dx$

Lời giải:

a) Ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$

b) Ta có $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$

Hoạt động khám phá 7 trang 10 Toán 12 Tập 2: Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{‘}=x^2$ và (x³)’ = 3x².

a) Tìm $\int x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$.

b) Tìm $\int 3x^{2}dx$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx$.

Lời giải:

a) $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C^{‘}$; $3\int x^{2}dx=3\left(\frac{x^3}{3}+C^{‘}\right)=x^3+3C^{‘}=x^3+C$.

b) $\int 3x^{2}dx=x^3+C$.

c) $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx=x^3+C$.

Thực hành 5 trang 10 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx$.

b) $\int 2^{2x+1}dx$

Lời giải:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx$$=-\frac{1}{4}\int \cos xdx$$=-\frac{1}{4}\sin x+C$

b) $\int 2^{2x+1}dx=\int 4^x.2dx$$=2\int 4^{x}dx=2.\frac{4^x}{\ln 4}+C$

Hoạt động khám phá 8 trang 10 Toán 12 Tập 2: Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{‘}=x^2$, (x²)’ = 2x và ${\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)}^{‘}=x^2+2x$.

a) Tìm $\int x^{2}dx,\int 2xdx$ và $\int x^{2}dx+\int 2xdx$.

b) Tìm $\int \left(x^2+2x\right)dx$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int \left(x^2+2x\right)dx=\int x^{2}dx+\int 2xdx$.

Lời giải:

a) $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_1,\int 2xdx=x^2+C_2$.

$\int x^{2}dx+\int 2xdx=\frac{x^3}{3}+C_1+x^2+C_2=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

b) $\int \left(x^2+2x\right)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

c) $\int \left(x^2+2x\right)dx=\int x^{2}dx+\int 2xdx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

Thực hành 6 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(3x^3+\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)dx\left(x>0\right)$; b) $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

Lời giải:

a) $\int \left(3x^3+\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)dx=\int 3x^{3}dx+\int \frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}dx$ $=3\int x^{3}dx+2\int x^{\frac{-3}{5}}dx$ $=\frac{3x^4}{4}+5x^{\frac{2}{5}}+C$.

b) $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=3\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$$=3\tan x+\cot x+C$

Thực hành 7 trang 11 Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Lời giải:

Kí hiệu s(t) là quãng đường ô tô đi được.

Ta có $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(19-2t\right)dt=19t-t^2+C$.

Vì s(0) = 0 => C = 0.

Do đó s(t) = 19t – t².

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây là: s(1) = 19.1 – 1² = 18 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây là: s(2) = 19.2 – 2² = 34 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây là: s(3) = 19.3 – 3² = 48 m.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xe^x, suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)e^x

Lời giải:

Có F'(x) = (xe^x)’ = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Do đó $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x+1\right)e^{x}dx=x{e}^x+C$.

Bài 2 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x^{5}dx$;

b) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx\left(x>0\right)$;

c) $\int 7^{x}dx$;

d) $\int \frac{3^x}{5^x}dx$

Lời giải:

a) $\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6}+C$.

b) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\int x^{\frac{-2}{3}}dx=3x^{\frac{1}{3}}+C=3\sqrt[3]{x}+C$.

c) $\int 7^{x}dx=\frac{7^x}{\ln 7}+C$.

d) $\int \frac{3^x}{5^x}dx=\int {\left(\frac{3}{5}\right)}^{x}dx=\frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^x}{\ln \frac{3}{5}}$.

Bài 3 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Lời giải:

Có $F\left(x\right)=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Vì $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ nên $-\cot \frac{\pi }{2}+C=1\iff C=1$.

Vậy $F\left(x\right)=-\cot x+1$.

Bài 4 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2x^5+3\right)dx$;

b) $\int \left(5\cos x-3\sin x\right)dx$;

c) $\int \left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{x}\right)dx$;

d)$\int \left(e^{x-2}-\frac{2}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

Lời giải:

a) $\int \left(2x^5+3\right)dx$$=2\int x^{5}dx+3\int dx$$=\frac{x^6}{3}+3x+C$.

b) $\int \left(5\cos x-3\sin x\right)dx=5\int \cos xdx-3\int \sin xdx$$=5\sin x+3\cos x+C$.

c) $\int \left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{x}\right)dx$$=\frac{1}{2}\int x^{\frac{1}{2}}dx-2\int \frac{1}{x}dx$$=\frac{1}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-2\ln \left|x\right|+C$$=\frac{1}{3}x\sqrt{x}-2\ln \left|x\right|+C$.

d) $\int \left(e^{x-2}-\frac{2}{{\sin }^{2}x}\right)dx=\frac{1}{e^2}\int e^{x}dx-2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$$=\frac{e^x}{e^2}+2\cot x+C=e^{x-2}+2\cot x+C$.

Bài 5 trang 12 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x{\left(2x-3\right)}^{2}dx$;

b) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx$;

c) $\int {\tan }^{2}xdx$;

d) $\int 2^{3x}{.3}^{x}dx$

Lời giải:

a) $\int x{\left(2x-3\right)}^{2}dx=\int x\left(4x^2-12x+9\right)dx$$=\int \left(4x^3-12x^2+9x\right)dx$

$=x^4-4x^3+\frac{9}{2}{x}^2+C$.

b) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1-\cos x}{2}dx$$=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos xdx$$=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x+C$.

c) $\int {\tan }^{2}xdx$$=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$$=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int dx$$=\tan x-x+C$

d) $\int 2^{3x}{.3}^{x}dx$$=\int 8^x{.3}^{x}dx=\int {24}^{x}dx$$=\frac{{24}^x}{\ln 24}+C$

Bài 6 trang 12 Toán 12 Tập 2: Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{‘}\left(x\right)=\frac{1}{x}$(m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Lời giải:

a) Chiều cao của cây sau x năm là:

$h\left(x\right)=\int h^{‘}\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$ (1 ≤ x ≤ 11).

Có h(1) = 2 nên ln1 + C = 2 => C = 2.

Do đó $h\left(x\right)=\ln x+\mathrm{2,}\left(1\le x\le 11\right)$.

b) Cây cao 3 m tức là $\ln x+2=3$$\iff \ln x=1$$\iff x=e\approx \mathrm{2,72}$.

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

Bài 7 trang 12 Toán 12 Tập 2: Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc v₀ = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 2 m/s². Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Lời giải:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 2dt=2t+C$.

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Có $s\left(t\right)=\int \left(2t+10\right)dt=t^2+10t+C$.

Vì s(0) = 0 => C = 0.

Do đó s(t) = t² + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 3² + 10.3 = 39 (m).

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

Bài 1. Nguyên hàm

Bài 2. Tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương IV

Bài 1. Phương trình mặt phẳng