Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức Bài 2: Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Mở đầu trang 15 Chuyên đề Toán 12: Khi mua vé tham gia một trò chơi, người chơi được chọn một trong hai phương án sau:

– Phương án 1: Người chơi gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 12 lần. Người chơi thắng nếu có ít nhất hai lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

– Phương án 2: Người chơi gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 6 lần. Người chơi thắng nếu có ít nhất một lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

Hỏi người chơi nên chọn phương án náo để xác suất thắng cao hơn?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được bài toán này như sau:

Xác suất nếu người chơi chọn phương án 1:

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Xét phép thử lặp với n = 12 và $P\left(E\right)=\frac{1}{6}$.

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”.

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 12, biến cố E xuất hiện ít nhất hai lần”.

Xét biến cố đối $\overline{B}$: “Trong phép thử lặp T, biến cố E xuất hiện nhiều nhất một lần”.

Ta có $\overline{B}=E_0\cup E_1$. Theo quy tắc cộng xác suất và công thức bernoulli, ta có:

$P\left(\overline{B}\right)=P\left(E_0\cup E_1\right)=P\left(E_0\right)+P\left(E_1\right)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{12}+C_{12}^1.\left(\frac{1}{6}\right).{\left(\frac{5}{6}\right)}^{11}\approx \mathrm{0,3813}$

Do đó P(B) = 1 – 0,3813 = 0,6187.

Xác suất nếu người chơi chọn phương án 2:

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Xét phép thử lặp với n = 6 và $P\left(E\right)=\frac{1}{6}$.

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”.

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 6, biến cố E xuất hiện ít nhất một lần”.

Xét biến cố đối $\overline{B}$: “Trong phép thử lặp T, biến cố E không xuất hiện”.

Khi đó $P\left(\overline{B}\right)={\left(1-\frac{1}{6}\right)}^6={\left(\frac{5}{6}\right)}^6$.

Do đó $P\left(B\right)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\approx \mathrm{0,665}$.

Ta thấy người chơi nên chọn theo phương án 2 thì xác suất thắng cao hơn.

1. Phép thử lặp và công thức Bernoulli

HĐ1 trang 15 Chuyên đề Toán 12: Trong tình huống mở đầu. Xét phép thử T là gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

a) Trong phương án 1, phép thử T được lặp lại bao nhiêu lần? Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện bao nhiêu lần?

b) Cũng hỏi như trên với phương án 2.

Lời giải:

a) Phép thử T được lặp lại 12 lần.

Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất 2 lần.

b) Phép thử T được lặp lại 6 lần.

Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất 1 lần.

Luyện tập 1 trang 16 Chuyên đề Toán 12: Hai bạn An và Bình thi đấu bóng bàn. Xác suất thắng của An trong một ván là 0,4. Hai bạn thi đấu đủ 3 ván đấu. Người nào có số ván đấu thắng nhiều hơn là người thắng trận đấu đó. Giả sử các ván đấu là độc lập. Tính xác suất để An thắng trong trận đấu.

Lời giải:

Xác suất để An thắng trận đấu là xác suất để An thắng ít nhất hai ván đấu.

Gọi biến cố A: “An thắng trận đấu đó”.

Trường hợp 1: An thắng cả ba ván đấu

Khi đó ta có P₁ = 0,4³ = 0,064.

Trường hợp 2: An thắng 2 ván đấu.

Khi đó ta có: $P_2=C_3^2{\mathrm{.0,4}}^2.\left(1-\mathrm{0,4}\right)=\mathrm{0,288}$.

Vậy P(A) = P₁ + P₂ = 0,064 + 0,288 = 0,352.

Luyện tập 2 trang 17 Chuyên đề Toán 12: Trở lại tình huống mở đầu.

a) Tính xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 2.

b) Qua các kết quả đã tính được, hãy cho biết người chơi nên chọn chơi theo phương án nào để xác suất thắng cao hơn.

Lời giải:

a) Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Xét phép thử lặp với n = 6 và $P\left(E\right)=\frac{1}{6}$.

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”.

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 6, biến cố E xuất hiện ít nhất một lần”.

Xét biến cố đối $\overline{B}$: “Trong phép thử lặp T, biến cố E không xuất hiện”.

Khi đó $P\left(\overline{B}\right)={\left(1-\frac{1}{6}\right)}^6={\left(\frac{5}{6}\right)}^6$.

Do đó $P\left(B\right)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\approx \mathrm{0,665}$.

b) Dựa vào kết quả ở ví dụ 1, ta thấy người chơi nên chọn theo phương án 2 thì xác suất thắng cao hơn.

2. Biến ngẫu nhiên có phân bổ nhị thức và áp dụng

Câu hỏi mở đầu trang 17 Chuyên đề Toán 12: Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, mỗi câu trả lời sai không được điểm (0 điểm). Thí sinh vượt qua bài thi đó nếu đạt ít nhất 5 điểm. Bạn An làm hết 10 câu trong bài thi bằng cách mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Hỏi:

a) Trung bình An được bao nhiêu điểm?

b) Xác suất đển An vượt qua bài thì đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi X là số câu trả lời đúng của An.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; $p=\frac{1}{4}$.

Số điểm trung bình là E(X).

Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:

E(X) = np = $10.\frac{1}{4}=\mathrm{2,5}$ điểm.

b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

$\begin{array}{l}P\left(X\ge 5\right)\\ =C_{10}^5.{\left(\frac{1}{4}\right)}^5.{\left(\frac{3}{4}\right)}^5+C_{10}^6.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4+C_{10}^7.{\left(\frac{1}{4}\right)}^7.{\left(\frac{3}{4}\right)}^3+C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.\frac{3}{4}+C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}\\ \approx \mathrm{0,0781.}\end{array}$

Từ đó tính được xác suất vượt qua bài thi của An xấp xỉ là 7,81

X

0

1

P

1 – p

p

Luyện tập 3 trang 18 Chuyên đề Toán 12: Khi tham gia một trò chơi, người chơi gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 5 lần. Mỗi lần gieo nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 4 thì người chơi được 10 điểm. Tính xác suất để người chơi nhận được ít nhất 30 điểm.

Lời giải:

Phép thử T là: “Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất”.

Biến cố E: “Số chấm xuất hiện lớn hơn 4”.

Ta có $P\left(E\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

X là số lần xuất hiện biến cố E trong 5 lần thực hiện lặp lại phép thử T.

Người chơi nhận được ít nhất 30 điểm khi số lần xuất hiện số chấm lớn hơn 4 ít nhất 3 lần. Tức là khi X ≥ 3.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

$P\left(X\ge 3\right)=C_5^3.{\left(\frac{1}{3}\right)}^3.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+C_5^4.{\left(\frac{1}{3}\right)}^4.\frac{2}{3}+C_5^5.{\left(\frac{1}{3}\right)}^5=\frac{40}{243}+\frac{10}{243}+\frac{1}{243}=\frac{17}{81}$

Vận dụng trang 20 Chuyên đề Toán 12: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải:

Gọi X là số câu trả lời đúng của An.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; $p=\frac{1}{4}$

Số điểm trung bình là E(X).

Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:

E(X) = np = $10.\frac{1}{4}=\mathrm{2,5}$điểm.

b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

$\begin{array}{l}P\left(X\ge 5\right)\\ =C_{10}^5.{\left(\frac{1}{4}\right)}^5.{\left(\frac{3}{4}\right)}^5+C_{10}^6.{\left(\frac{1}{4}\right)}^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4+C_{10}^7.{\left(\frac{1}{4}\right)}^7.{\left(\frac{3}{4}\right)}^3+C_{10}^8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^8.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+C_{10}^9.{\left(\frac{1}{4}\right)}^9.\frac{3}{4}+C_{10}^{10}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}\\ \approx \mathrm{0,0781.}\end{array}$

Từ đó tính được xác suất vượt qua bài thi của An xấp xỉ là 7,81