Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Câu hỏi khởi động trang 89 Toán 12 Tập 1: Kết quả 40 lần nhảy xa của hai vận động viên nam Dũng và Huy được lần lượt thống kê trong Bảng 11 và Bảng 12 (đơn vị: mét):

Kết quả nhảy xa của vận động viên nào đồng đều hơn?

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Để kiểm tra xem kết quả nhảy xa của vận động viên nào đồng đều hơn, ta cần tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của từng vận động viên và so sánh.

Từ Bảng 11 và Bảng 12, ta có các bảng thống kê sau:

– Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

${\overline{x}}_D=\frac{3\cdot 6,34+7\cdot 6,58+5\cdot 6,82+20\cdot 7,06+5\cdot 7,30}{40}=\frac{276,88}{40}\approx 6,92$ (m).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

$s_D^2=\frac{1}{40}$∙ [3 ∙ (6,34 – 6,92)² + 7 ∙ (6,58 – 6,92)² + 5 ∙ (6,82 – 6,92)²

+ 20 ∙ (7,06 – 6,92)² + 5 ∙ (7,30 – 6,92)²] = $\frac{2,9824}{40}$ ≈ 0,07.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_D\approx \sqrt{0,07}\approx 0,26$ (m).

– Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

${\overline{x}}_H=\frac{2\cdot 6,34+5\cdot 6,58+8\cdot 6,82+19\cdot 7,06+6\cdot 7,30}{40}=\frac{278,08}{40}\approx 6,95$ (m).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

$s_H^2=\frac{1}{40}$∙ [2 ∙ (6,34 – 6,95)² + 5 ∙ (6,58 – 6,95)² + 8 ∙ (6,82 – 6,95)²

+ 19 ∙ (7,06 – 6,95)² + 6 ∙ (7,30 – 6,95)²] = $\frac{2,5288}{40}$ ≈ 0,06.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_H\approx \sqrt{0,06}\approx 0,24$ (m).

– Do s_H ≈ 0,24 < s_D ≈ 0,26 nên kết quả nhảy xa của vận động viên Huy đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng.

Hoạt động trang 89 Toán 12 Tập 1: Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 13.

a) Tìm x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ lần lượt là giá trị đại diện của nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3, nhóm 4, nhóm 5.

b) Tính số trung bình cộng $\overline{x}$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

c) Tính $s^2=\frac{3\cdot {\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+12\cdot {\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+9\cdot {\left(x_3-\overline{x}\right)}^2+7\cdot {\left(x_4-\overline{x}\right)}^2+9\cdot {\left(x_5-\overline{x}\right)}^2}{40}$.

d) Tính $s=\sqrt{s^2}$.

Lời giải:

a) Ta có $x_1=\frac{40+45}{2}=42,5$; $x_2=\frac{45+50}{2}=47,5$;

$x_3=\frac{50+55}{2}=52,5$; $x_4=\frac{55+60}{2}=57,5$; $x_5=\frac{60+65}{2}=62,5$.

b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 42,5+12\cdot 47,5+9\cdot 52,5+7\cdot 57,5+9\cdot 62,5}{40}=53,375$.

c) Ta có

$s^2=\frac{3\cdot {\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+12\cdot {\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+9\cdot {\left(x_3-\overline{x}\right)}^2+7\cdot {\left(x_4-\overline{x}\right)}^2+9\cdot {\left(x_5-\overline{x}\right)}^2}{40}$

$=\frac{3\cdot {\left(42,5-53,375\right)}^2+12\cdot {\left(47,5-53,375\right)}^2+\mathrm{\dots }+9\cdot {\left(62,5-53,375\right)}^2}{40}$

$=\frac{2631}{64}\approx 41,11$.

d) Ta có $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{2631}{64}}\approx 6,41$.

Luyện tập trang 91 Toán 12 Tập 1: Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở Bảng 17 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Từ Bảng 17 ta có bảng thống kê sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 55+12\cdot 65+7\cdot 75+8\cdot 85+7\cdot 95}{40}=\frac{2980}{40}=74,5$.

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$s^2=\frac{1}{40}$∙ [6 ∙ (55 – 74,5)² + 12 ∙ (65 – 74,5)² + 7 ∙ (75 – 74,5)² + 8 ∙ (85 – 74,5)² + 7 ∙ (95 – 74,5)²] = $\frac{7190}{40}$ ≈ 179,8.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s\approx \sqrt{179,8}\approx 13,4$.

Bài tập

Bài 1 trang 92 Toán 12 Tập 1: Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 18.

a) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 53,2.

B. 46,1.

C. 30.

D. 11.

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:

A. 6,8.

B. 7,3.

C. 3,3.

D. 46,1.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: B

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 42,5+14\cdot 47,5+8\cdot 52,5+10\cdot 57,5+6\cdot 62,5+2\cdot 67,5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,2$(chục nghìn đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$s^2=\frac{1}{44}$∙ [4 ∙ (42,5 – 53,2)² + 14 ∙ (47,5 – 53,2)² + 8 ∙ (52,5 – 53,2)² + 10 ∙ (57,5 – 53,2)²

+ 6 ∙ (62,5 – 53,2)² + 2 ∙ (67,5 – 53,2)²] = $\frac{2029,56}{44}$ ≈ 46,1.

b) Đáp án đúng là: A

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s\approx \sqrt{46,1}\approx 6,8$ (chục nghìn đồng).

Bài 2 trang 92 Toán 12 Tập 1: Bảng 19, Bảng 20 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty A, B (đơn vị: triệu đồng).

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty A, B.

b) Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?

Lời giải:

a) – Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty A được cho bởi Bảng 19 là:

${\overline{x}}_A=\frac{15\cdot 12,5+18\cdot 17,5+10\cdot 22,5+10\cdot 27,5+5\cdot 32,5+2\cdot 37,5}{60}=\frac{1240}{60}\approx 20,67$ (triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty A được cho bởi Bảng 19 là:

$s_A^2=\frac{1}{60}$∙ [15 ∙ (12,5 – 20,67)² + 18 ∙ (17,5 – 20,67)² + 10 ∙ (22,5 – 20,67)²

+ 10 ∙ (27,5 – 20,67)² + 5 ∙ (32,5 – 20,67)² + 2 ∙ (37,5 – 20,67)²] = $\frac{2948,334}{60}$ ≈ 49,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_A\approx \sqrt{49,14}\approx 7,01$ (triệu đồng).

– Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty B được cho bởi Bảng 20 là:

${\overline{x}}_B=\frac{25\cdot 12,5+15\cdot 17,5+7\cdot 22,5+5\cdot 27,5+5\cdot 32,5+3\cdot 37,5}{60}=\frac{1047,5}{60}\approx 17,46$ (triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty B được cho bởi Bảng 20 là:

$s_B^2=\frac{1}{60}$∙ [25 ∙ (12,5 – 17,46)² + 15 ∙ (17,5 – 17,46)² + 7 ∙ (22,5 – 17,46)²

+ 5 ∙ (27,5 – 17,46)² + 5 ∙ (32,5 – 17,46)² + 3 ∙ (37,5 – 17,46)²] = $\frac{3632,696}{60}$ ≈ 60,54.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_B\approx \sqrt{60,54}\approx 7,78$(triệu đồng).

b) Do s_A ≈ 7,01 < s_B ≈ 7,78 nên công ty A có mức lương đồng đều hơn công ty B.

Bài 3 trang 92 Toán 12 Tập 1: Bảng 21 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của cư dân trong một khu phố. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\overline{x}=\frac{25\cdot 25+20\cdot 35+20\cdot 45+15\cdot 55+14\cdot 65+6\cdot 75}{100}=\frac{4410}{100}\approx 44$.

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$s^2=\frac{1}{100}$∙ [25 ∙ (25 – 44)² + 20 ∙ (35 – 44)² + 20 ∙ (45 – 44)²

+ 15 ∙ (55 – 44)² + 14 ∙ (65 – 44)² + 6 ∙ (75 – 44)²] = $\frac{24420}{100}$ = 244,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s=\sqrt{244,2}\approx 15,6$.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

§2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

§1. Nguyên hàm

§2. Nguyên hàm của mốt số hàm số sơ cấp

§3. Tích phân

Lý thuyết Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Định nghĩa

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho trong bảng sau: Gọi $\overline{x}$ là số trung bình cộng của mẫu số liệu đó. Số: $$s^2=\frac{n_1{(x_1-\overline{x})}^2+...+n_m{(x_m-\overline{x})}^2}{n}$$ được gọi là phương sai của mấu số liệu đó. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s=\sqrt{s^2}.$

2. Ý nghĩa

• Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc, dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
• Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với mẫu số liệu
• Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ bằng nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó thấp hơn

Ví dụ: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 ngày theo mỗi lĩnh vực có kết quả như sau:

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?

Giải:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:

Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:

$\overline{x_A}=\frac{1}{60}(5.7,5+...+5.27,5)=17,5$ (triệu đồng)

$\overline{x_B}=\frac{1}{60}(20.7,5+...+20.27,5)=17,5$ (triệu đồng)

Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau.

Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:

$s_A=\sqrt{\frac{1}{60}(5.7,5^2+...+5.27,5^2-17,5^2}=5$

$s_B=\sqrt{\frac{1}{60}(20.7,5^2+...+20.27,5^2-17,5^2}\approx 8,42.$

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là “rủi ro” hơn.