Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Toạ độ của vectơ trong không gian

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 1 trang 70 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(2; 3; 5) và vectơ $\vec{a}$ = (2; 0; −7).

a) Tìm tọa độ vectơ $\vec{O M}$ .

b) Tìm tọa độ điểm N thỏa mãn $\vec{O N} = \vec{a}$

Lời giải:

a) Ta có: M(2; 3; 5), suy ra $\vec{O M}$ = (2; 3; 5).

b) Ta có: $\vec{O N} = \vec{a}$ = (2; 0; −7), suy ra N(2; 0; −7).

Bài 2 trang 70 SBT Toán 12 Tập 1: Cho A(4; −3; 1) và vectơ $\vec{u}$ = (5; 2; −3). Biểu diễn các vectơ sau đây theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$

a) $\vec{O A}$ ;

b) $4 \vec{u}$ .

Lời giải:

a) Ta có A(4; −3; 1), suy ra $\vec{O A}$ = (4; −3; 1) hay $\vec{O A}$ = $4 \vec{i} - 3 \vec{j} + \vec{k}$ .

b) Ta có $\vec{u}$ = (5; 2; −3), suy ra $4 \vec{u}$ = 4(5; 2; −3) = (20; 8; −12) = $20 \vec{i} + 8 \vec{j} - 12 \vec{k}$

Bài 3 trang 70 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(9; 3; 6).

a) Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ các điểm M₁, M₂, M₃.

b) Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Tìm tọa độ các điểm N, P, Q.

Lời giải:

a) Ta có M(9; 3; 6).

M₁ là hình chiếu của M trên trục Ox, do đó M₁(9; 0; 0).

M₂ là hình chiếu của M trên trục Oy, do đó M₂(0; 3; 0).

M₃ là hình chiếu của M trên trục Oz, do đó M₃(0; 0; 6).

b) N là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxy) nên N(9; 3; 0).

P là hình chiếu vuông góc của M trên (Oyz) nên P(0; 3; 6).

Q là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxz) nên Q(9; 0; 6).

Bài 4 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(5; 7; −4), B(6; 8; −4), C(6; 7; −3), D'(3; 0; 3). Tìm tọa độ các điểm D và A’.

Lời giải:

Gọi D(x; y; z).

Ta có ABCD là hình bình hành, suy ra $\vec{A D} = \vec{B C} = (0; - 1; 0)$ .

Suy ra, $\{\begin{cases} x - 5 = 0 \\ y - 7 = - 1 \\ z + 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 6 \\ z = - 4 \end{cases}$ ⇒ D(5; 6; −4).

Gọi A'(a; b; c).

Ta có AA’D’D là hình bình hành, suy ra $\vec{A A^{‘}} = \vec{D D^{‘}}$ = (−2; −6; 7).

Suy ra $\{\begin{cases} a - 5 = - 2 \\ b - 7 = - 6 \\ c + 4 = 7 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 1 \\ c = 3 \end{cases}$ ⇒ A'(3; 1; 3).

Bài 5 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(5; −7; −2) và vectơ $\vec{a}$ = (−3; 0; 1)

Hãy biểu diễn mỗi vectơ sau theo hướng các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

a) $\vec{O M}$ ;

b) $\vec{a}$

Lời giải:

a) Ta có M(5; −7; −2), suy ra $\vec{O M}$ = (5; −7; −2) hay $\vec{O M}$ = $5 \vec{i} - 7 \vec{j} - 2 \vec{k}$ .

b) Ta có: $\vec{a}$ = (−3; 0; 1) hay $\vec{a}$ = $- 3 \vec{i} + \vec{k}$

Bài 6 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(2; 0; 2), B(4; 2; 4), D(2; −2; 2), C’ (8; 10; −10). Tìm tọa độ điểm A’.

Lời giải:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(2; 0; 2), B(4; 2; 4), D(2; −2; 2), C' (8; 10; −10)

Ta có ABCD là hình bình hành, nên $\vec{D C} = \vec{A B}$ = (2; 2; 2).

Gọi C(x; y; z) suy ra $\{\begin{cases} x - 2 = 2 \\ y + 2 = 2 \\ z - 2 = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$ ⇒ C(4; 0; 4).

Ta có: AA’C’C là hình bình hành, suy ra $\vec{A A^{‘}} = \vec{C C^{‘}}$ = (4; 10; −14).

Gọi A'(a; b; c) suy ra $\{\begin{cases} a - 2 = 4 \\ b - 0 = 10 \\ c - 2 = - 14 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = 10 \\ c = - 12 \end{cases}$ ⇒ A'(6; 10; −12).

Bài 7 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Trên một sân tennis có kích thước như trong Hình 14a), người ta đã thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là m) như trong Hình 14b). Hay xác định tọa độ của các điểm A, B.

Trên một sân tennis có kích thước như trong Hình 14a), người ta đã thiết lập một hệ tọa độ Oxyz

Lời giải:

Quan sát hình vẽ, ta thấy: x_A = $\frac{23, 78}{2} = 11, 89$ , y_A = $\frac{10, 98}{2}$ = 5,49, z_A = 1,07 – 0,91 = 0,16

Suy ra a(11,89; 5,49; 0,16).

Tọa độ điểm B là B(11,89; 5,49; 1,07).

Lý thuyết Toạ độ của vectơ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi

\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}

lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

2. Tọa độ của điểm và vecto

a) Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu

\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}

thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

b) Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho

\vec{a}

. Nếu

\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}

thì ta gọi bộ ba số

(a_{1}; a_{2}; a_{3})

là tọa độ của

\vec{a}

đối với hệ tọa độ Oxyz và viết

\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})

hoặc

\vec{a} (a_{1}; a_{2}; a_{3})

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của $\vec{A A^{'}} .$

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.

Lời giải

a) Ta có: $\vec{A A^{'}} = (x_{A^{'}} - x_{A}; y_{A^{'}} - y_{A}; z_{A^{'}} - z_{A}) = (4; 0; - 1)$ .

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì $\vec{B B^{'}}$ = (x – 3; y – 2; z – 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra $\vec{A A^{'}}$ = $\vec{B B^{'}} .$

Do đó ${\begin{cases} x - 3 = 4 \\ y - 2 = 0 \\ z - 5 = - 1 \end{cases}$ hay x = 7, y = 2, z = 4.

Vậy B’(7;2;4).

Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).

Sơ đồ tư duy Toạ độ của vectơ trong không gian

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài liên quan