Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB′ sao cho MB=2MB'. Mặt phẳng α đi qua M và vuông góc với AC′ cắt các cạnh DD′, DC, BC lần lượt tại N, P, Q. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện CPQMNC′.Tính tỉ số V1V

Câu hỏi:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB′ sao cho $MB=2MB‘.$ Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$đi qua M và vuông góc với AC′ cắt các cạnh DD′, DC, BC lần lượt tại N, P, Q. Gọi $V_1$ là thể tích của khối đa diện CPQMNC′.Tính tỉ số $\frac{V_1}{V}$

A. $\frac{31}{162}$

B. $\frac{35}{162}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{34}{162}$

D, $\frac{13}{162}$

Trả lời:

Gọi cạnh của hình lập phương là a.
Ta có:
$\left(\alpha \right)\perp A{C}^{‘}\Rightarrow \left(\alpha \right)\parallel BD$.Trong $\left(BD{D}^{‘}{B}^{‘}\right)$ kẻ $MN\parallel BD\left(N\in D{D}^{‘}\right)$
$\left(\alpha \right)\perp A{C}^{‘}\Rightarrow \alpha \parallel B^{‘}C$ .Trong $\left(BC{C}^{‘}{B}^{‘}\right)$ kẻ $MQ\parallel B^{‘}C\left(Q\in BC\right)$
$\left(\alpha \right)\perp A{C}^{‘}\Rightarrow \left(\alpha \right)\parallel BD$ .Trong $\left(BD{D}^{‘}{B}^{‘}\right)$ kẻ $MN\parallel BD\left(N\in D{D}^{‘}\right)$
$\left(\alpha \right)\perp A{C}^{‘}\Rightarrow \alpha \parallel B^{‘}C$. Trong $\left(ABCD\right)$ kẻ $PQ\parallel BD\left(P\in DC\right)$
Khi đó $\left(\alpha \right)\equiv \left(MNPQ\right)$
Theo cách dựng ta có $BQ=2QC,DP=2PC,DN=2N{D}^{‘}$
Gọi H là điểm thuộc CC′ sao cho $CH=2H{C}^{‘}$
Khi đó ta có: $V_{CPQMN{C}^{‘}}=V_{C.MHN}+V_{CQP.MHN}$
Xét hình chóp $C^{‘}.MHN$ có $C^{‘}H=\frac{a}{3},S_{\text{Δ}MHN}=\frac{1}{2}{a}^2$
$\Rightarrow V_{C^{‘}.MHN}=\frac{1}{3}{C}^{‘}H.S_{\text{Δ}MHN}=\frac{1}{3}.\frac{a}{3}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3}{18}=\frac{V}{18}$
Xét hình chóp cụt CQP.MHN có
$\begin{array}{l}{V}_{CQP.MHN}=V_{I.MHN}-V_{I.CQP}=\frac{1}{3}\left(IH.S_{\text{Δ}MHN}-IC.S_{\text{Δ}CQP}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(a.\frac{1}{2}{a}^2-\frac{a}{3}.\frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{a}{3}\right)=\frac{13a^3}{8}=\frac{13V}{81}\end{array}$
$\Rightarrow V_1=V_{CPQMN{C}^{‘}}=V_{C.MHN}+V_{CQP.MHN}=\frac{V}{18}+\frac{13V}{81}=\frac{35V}{162}$
Vậy $\frac{V_1}{V}=\frac{35}{162}$
Đáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là:

   A. $V=\frac{1}{3}Sh$

   B. $V=\frac{1}{2}Sh$

   C. $V=\frac{1}{6}Sh$

   D. $V=Sh$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao hh là $V=Sh$.
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích V. Trên đáy A′B′C′ lấy điểm M bất kì. Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích V. Trên đáy A′B′C′ lấy điểm M bất kì. Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng:

   A. $\frac{V}{2}$

   B. $\frac{2V}{3}$

   C. $\frac{V}{3}$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{3V}{4}$

   Trả lời:

   Vì $M\in \left(A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}\right)\Rightarrow d\left(M;\left(ABC\right)\right)=d\left(\left(A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}\right);\left(ABC\right)\right)$
   $\Rightarrow V_{M.ABC}=\frac{1}{3}d\left(M;\left(ABC\right)\right).S_{ABC}=\frac{1}{3}V$
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Mệnh đề nào dưới đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mệnh đề nào dưới đây sai?

   A.Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

   Đáp án chính xác

   B.Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

   C.Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

   D.Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

   Trả lời:

   Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: $S_{tp}=S_{xq}+2ab=2h\left(a+b\right)+2ab.$
   Thể tích hình hộp chữ nhật:$V=abh.$
   Thể tích của lăng trụ là:$V=S_d.h.$
   Diện tích toàn phần của khối lập phương: $S_{tp}=6a^2.$
   Thể tích của khối lập phương: $V=a^3.$
   Thể tích khối chóp là: $V=\frac{1}{3}{S}_d.h.$
   Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết rằng BD'=a6 . Tính thể tích của khối lăng trụ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết rằng $BD‘=a\sqrt{6}$. Tính thể tích của khối lăng trụ?

   A. $a^3\sqrt{2}$

   B. $a^3\sqrt{3}$

   C. $3a^3$

   D. $2a^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   

   Vì $A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}{D}^{‘}$ là hình vuông cạnh a nên $B^{‘}{D}^{‘}=a\sqrt{2}$
   $B{B}^{‘}\perp \left(A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}{D}^{‘}\right)\Rightarrow B{B}^{‘}\perp B^{‘}{D}^{‘}\Rightarrow \text{Δ}B{B}^{‘}{D}^{‘}$ vuông tại
   $B^{‘}\Rightarrow B{B}^{‘}=\sqrt{B{D}^{‘2}-B^{‘}{D}^{‘2}}=\sqrt{6a^2-2a^2}=2a$
   Vậy $V_{ABCD.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}{D}^{‘}}=B{B}^{‘}.S_{ABCD}=2a.a^2=2a^3$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ
   
   

   Câu hỏi:
   

   Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ

   A. $480c{m}^3$

   B. $360c{m}^3$

   C. $240c{m}^3$

   Đáp án chính xác

   D. $120c{m}^3$

   Trả lời:

   

   Gọi$O=AC\cap BD$ ta có: $OA=3cm;OB=4cm$
   Xét tam giác vuông OAB có:$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$
   Khi đó chu vi đáy bằng $P=4.5=20=2A{A}^{‘}\Rightarrow A{A}^{‘}=10\left(cm\right)$
   $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24\left(c{m}^2\right)$
   Vậy $V_{ABCD.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}{D}^{‘}}=A{A}^{‘}.S_{ABCD}=10.24=240\left(c{m}^3\right)$
   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====