Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA=2a33 . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD 

Câu hỏi:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh $SA=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD 

A. $R=\frac{a\sqrt{39}}{7}$

B. $R=\frac{a\sqrt{35}}{7}$

C. $R=\frac{a\sqrt{37}}{6}$

Đáp án chính xác

D. $R=\frac{a\sqrt{13}}{7}$

Trả lời:

Do D đối xứng với C qua B nên có $BC=DC=AC$ suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.
Kẻ đường thẳng d qua C vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABD .
Tam giác SAB cân tại S , gọi M là trung điểm AB,H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
$\Rightarrow H\in SM;SM=\sqrt{S{A}^2-A{M}^2}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$
$SH=\frac{AB.SA.SB}{4.S_{SAB}}=\frac{{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^2.a}{4.\frac{1}{2}.a.AM}=\frac{4a}{\sqrt{39}}$
Trong (SAC) dựng $HI\perp SM\left(I\in d\right)\left(1\right)$
Mà $\left\{\begin{array}{c}AB\perp SM\\ AB\perp MC\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SMC\right)\Rightarrow AB\perp HI\left(2\right)$
Từ (1), (2) suy ra $HI\perp \left(SAB\right)$ , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABD
Gọi $Q=MS\cap CI$, xét tam giác SCM có
$\frac{SM}{QM}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}\Rightarrow QM=3SM=3.\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{39}}{2}$
$\Rightarrow QH=QM-MS+HS=\frac{a\sqrt{39}}{2}-\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}+\frac{4a}{\sqrt{39}}=\frac{17a}{\sqrt{39}}$
$QC=\sqrt{Q{M}^2-M{C}^2}=3a$
Xét: $\text{Δ}QHI~\text{Δ}QCM\Rightarrow \frac{HI}{CM}=\frac{HQ}{QC}\Rightarrow HI=\frac{HQ.CM}{QC}=\frac{17a}{6\sqrt{13}}$
$\Rightarrow R=SI=\sqrt{H{I}^2+H{S}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{17}}{6\sqrt{13}}\right)}^2+{\left(\frac{4a}{\sqrt{39}}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{37}}{6}$

Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Khối cầu thể tích V thì bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khối cầu thể tích V thì bán kính là:

   A. $R=\frac{3V}{4\pi }$

   B. $R=\sqrt{\frac{3V}{4\pi }}$

   C. $R=\frac{1}{2}.\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi }}$

   D. $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: thể tích khối cầu  $V=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$
   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Công thức tính diện tích mặt cầu là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính diện tích mặt cầu là:

   A. $S=\pi R^2$

   B. $S=4\pi R^2$

   Đáp án chính xác

   C. $S=2\pi R^2$

   D. $\frac{4}{3}\pi R^2$

   Trả lời:

   Công thức tính diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

   A. $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$

   Đáp án chính xác

   B. $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{2}}$

   C. $R=\sqrt{r^2-\frac{h^2}{4}}$

   D. $R=r^2+\frac{h^2}{4}$

   Trả lời:

   Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$
   với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).
   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

   A. $\min V=4\sqrt{3}$

   B. $\min V=8\sqrt{3}$

   Đáp án chính xác

   C. $\min V=9\sqrt{3}$

   D. $\min V=16\sqrt{3}$

   Trả lời:

   Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh aa
   Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=1\Rightarrow a=2\sqrt{6}$
   Thể tích tứ diện đều đó là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=8\sqrt{3}$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó

   A. $S=4\pi a^2$

   B. $S=\pi a^2$

   Đáp án chính xác

   C. $S=\frac{1}{3}\pi a^2$

   D. $S=\frac{4\pi a^2}{3}$

   Trả lời:

   Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng $\frac{a}{2}$
   Diện tích mặt cầu đó là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\pi a^2$
   Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====