Giải bài tập SGK Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian
Câu 1: Trang 89 – sgk hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(2;-3;1)$
b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình: $x + y – z + 5 = 0$
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t & & \\y=-3+3t & & \\ z=4t & & \end{matrix}\right.$
d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình đường thẳng d có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=5+2t & & \\y=4-3t & & \\ z=1+t & & \end{matrix}\right.(t \in R)$
b) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$): $x + y – z + 5 = 0$
=> vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;-1)$.
=> Phương trình đường thẳng d có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & & \\y=-1+t & & \\ z=3-t & & \end{matrix}\right.(t \in R)$
c) Vì d // ∆ nên $\overrightarrow{u}=(2;3;4)$ cũng là vectơ chỉ phương của d.
=> Phương trình tham số của d có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=2+2t & & \\y=3t & & \\ z=-3+4t & & \end{matrix}\right.(t \in R)$
d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4)
=> vectơ chỉ phương $\overrightarrow{PQ}=(4 ; 2 ; -1)$
=> Phương trình tham số có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=1+4t & & \\y=2+2t & & \\ z=5-s & & \end{matrix}\right.(t \in R)$
==========
Câu 2: Trang 89 – sgk hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
d: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & & \\y=-3+2t & & \\ z=1+3t & & \end{matrix}\right.(t \in R)$ lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy)
b) (Oyz)
Hướng dẫn giải:
Ta có: $M(2;-3;1) và N(3;-1;4) \in d$
Gọi M’ và N’ là hình chiếu của M và N lên mp(Oxy)
=> M'(2;-3;0) và N'(3;-1;0)
=> $\overrightarrow{MN}=(1;2;0)$
=> Đường thẳng M’N’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mp(Oxy).
=> Phương trình tham số của đường thẳng M’N’ lên mp(Oxy) có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & & \\y=-3+2t & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.(t \in R)$
b) Tương tự:
=> Phương trình tham số của đường thẳng lên mp(Oyz) có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=0 & & \\y=-3+2t & & \\ z=1+3t & & \end{matrix}\right.(t \in R)$
===============
Câu 3: Trang 90 sgk hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau:
a) d: $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t & & \\y=-2+3t & & \\ z=6+4t & & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=5+t’ & & \\y=-1-4t’ & & \\ z=20+t’ & &\end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\y=2+t & & \\ z=3-t & & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t’ & & \\y=-1+2t’ & & \\ z=2-2t’ & & \end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: $\left\{\begin{matrix}-3+2t=5+t’ & & \\-2+3t=-1-4t’ & & \\ 6+4t=20+t’ & & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}t=3 & \\ t’=-2 & \end{matrix}\right.$
Thay vào hệ trên ta được: A(3;7;8)
Vậy d và d’ cắt nhau tại điểm A(3;7;8).
b) Ta có: $\left\{\begin{matrix}1+t=1+2t’ & & \\2+t=-1+2t’ & & \\ 3-t=2-2t’ & & \end{matrix}\right.$
Mặt khác : $\overrightarrow{u_{1}}=(1;1;-1)$
$\overrightarrow{u_{2}}=(2;2;-1)$
=> $\overrightarrow{u_{1}}$ và $\overrightarrow{u_{2}}$ cùng phương.
Ta thấy $M(1;2;3) \in d$ nhưng $M \notin d’$
=> $d // d’$.
==============
Câu 4: Trang 90 – sgk hình học 12
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
d: $\left\{\begin{matrix}x=1+at & & \\y=t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1-t’ & & \\y=2+2t’ & & \\ z=3-t’ & & \end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra để d và d’ cắt nhau
<=> $\left\{\begin{matrix}1+at=1-t’ & & \\t=2+2t’ & & \\ -1+2t=3-t’ & & \end{matrix}\right.$ có duy nhất một nghiệm.
Giải hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}t=2 & \\ t’=0 & \end{matrix}\right.$
Thay giá trị vào pt: $1+2a=1 => a=0$
Vậy để d và d’ cắt nhau <=> $a=0$.
=================
Câu 5: Trang 90 – sgk hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\alpha$) trong các trường hợp sau:
a) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t & & \\y=9+3t & & \\ z=1+t & & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $3x+5y-z-2=0$
b) d: $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\y=2-t & & \\ z=1+2t & & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+3y+z+1=0$
c) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t & & \\y=1+2t & & \\ z=2-3t & & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+y+z-4=0$
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(4;3;1)$
$\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(3;5;-1)$
=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=12+15-1=26 \neq 0$
=> $d$ cắt $(\alpha) $.
b) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(1;-1;-2)$
$\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(1;3;1)$
=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=1-3+2= 0$
=> $d//(\alpha)$ hoặc $d \subset (\alpha) $
Mặt khác: $M(1;2;1) \in d$ nhưng $M \notin (\alpha)$
=> $d//(\alpha)$.
c) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(1;2;3)$
$\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(1;1;1)$
=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=1+2-3= 0$
=> $d//(\alpha)$ hoặc $d \subset (\alpha) $
Mặt khác: $M(1;2;1) \in d$ và $M \in (\alpha)$
=> $d \subset (\alpha) $.
============
Câu 6: Trang 90 – sgk hình học 12
Tính khoảng cách giữa đường thẳng
∆ : $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t & & \\y=-1+3t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right.$ và mp($\alpha$): $2x-2y+z+3=0$
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆ qua $M(-3;-1;-1)$ có $\overrightarrow{u_{d}}=(2;3;2)$
Và $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(2;-2;1)$
=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=4-6+2=0$
=> $\Delta //(\alpha )$ hoặc $\Delta \subset (\alpha )$
Mặt khác: $M(-3;-1;-1)\in \Delta $ nhưng $M\notin (\alpha )$
=> $\Delta //(\alpha )$.
=> $d(\Delta ,(\alpha ))=d(M,(\alpha ))=\frac{\left | 2.(-3)-2(-1)-1+3 \right |}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2}{3}$
Vậy $d(\Delta ,(\alpha ))=\frac{2}{3}$.
==============
Câu 7: Trang 91 – sgk hình học 12
Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & & \\y=1+2t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Hướng dẫn giải:
Giả sử $H(2+t;1+2t;t)\in \Delta $
=> $\overrightarrow{AH}=(1+t;1+2t;t)$
Ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;2;1)$
Theo bài ra: H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆
=> $AH\perp \Delta <=> \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\Delta }}=0$
<=> $1+t+2(1+2t)+t=0$
<=> $t=\frac{-1}{2}$
=> $H(\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2})$
b) Theo bài ra: A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆
=> H là trung điểm AA’.
=> $\left\{\begin{matrix}x_{A’}=2x_{H}-x_{A}=2 & & \\ y_{A’}=2y_{H}-y_{A}=0 & & \\ z_{A’}=2z_{H}-z_{A}=-1 & & \end{matrix}\right.$
=> $A'(2;0;-1)$
Vậy $A'(2;0;-1)$.
===============
Câu 8: Trang 91 – sgk hình học 12
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng ($\alpha$): $x + y + z – 1 = 0$
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$).
b)Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ($\alpha$).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ($\alpha$).
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$)
=> Phương trình tham số của đường thẳng MH có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\ y=4+t & & \\ z=2+t & & \end{matrix}\right.$
Thay vào pt mp($\alpha$), ta được: $t=-2$
=> $H(-1;2;0)$.
b) Theo bài ra: M đối xứng với M qua mặt phẳng ($\alpha$)
=> H là trung điểm MM’.
=> $\left\{\begin{matrix}x_{M’}=2x_{H}-x_{M}=-3 & & \\ y_{M’}=2y_{H}-y_{M}=0 & & \\ z_{M’}=2z_{H}-z_{M}=-2 & & \end{matrix}\right.$
=> $M'(-3;0;-2)$.
c) $d(M,(\alpha ))=MH=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$
Vậy $d(M,(\alpha ))=2\sqrt{3}$
===============
Câu 9: Trang 91 – sgk hình học 12
Cho hai đường thẳng:
d: $\left\{\begin{matrix}x=1-t & & \\y=2+2t & & \\ z=3t & & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\y=3-2t & & \\ z=1 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(-1;2;3)$
$\overrightarrow{u_{d’}}=(1;-2;0)$
=> $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d’}}$ không cùng phương.
Mặt khác, xét hệ pt sau: $\left\{\begin{matrix}1-t=1+t & & \\ 2+2t=3-2t & & \\ 3t=1 & & \end{matrix}\right.$
Ta thấy: Hệ trên vô nghiệm.
=> Hai đường thẳng d và d’ chép nhau. ( đpcm)
==============
Câu 10: Trang 91 – sgk hình học 12
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)
=> B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0).
=> Phương trình mặt phẳng (A’BD) có dạng: $x + y + z – 1 = 0$ (1)
=> $d(A,(A’BD ))=\frac{\left | 0+0+0-1 \right |}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Mặt khác: mp(B’D’C) // mp(A’BD)
=> Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng: $x+y+z+D=0$
Ta lại có: mp(B’D’C) đi qua $C(1;1;0) => D=-2$
=> Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng: $x+y+z-2=0$
=> $d(A,(B’D’C ))=\frac{\left | 0+0+0-2 \right |}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
Trả lời