Tổng hợp lý thuyết bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt toán lớp 12

Bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Các bài toán mặt cầu mẫu

R Mẫu 1: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ (tứ diện gần đều)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Chứng minh: Gọi $M,N,O$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ và $MN$

Ta có: $\Delta ACD=\Delta BDC\left( c-c-c \right)\Rightarrow DM=CM$

Khi đó $MN\bot CD,$ tương tự $MN\bot AB$ suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Ta có: ${{R}^{2}}=O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{M{{N}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}$

Xét $\Delta CMN$ có: $M{{N}^{2}}=C{{M}^{2}}-C{{N}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}$

$=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{8}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}.$

Vậy$R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Bài tập bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhanh ta có: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}=\sqrt{\frac{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}{8}}=\sqrt{\frac{21}{8}}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{21\pi }{2}.$

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhanh ta có: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}=R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{8}}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhanh ta có: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}=\sqrt{\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}{8}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{9\pi \sqrt{2}}{8}.$

Chọn D.

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}{8}}=\frac{\sqrt{35}}{2}.$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{\sqrt{35}}{2} \right)}^{3}}=\frac{35\sqrt{35}\pi }{6}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}{8}}.$

Khi đó $\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{8}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ mà $xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}=\frac{4}{2}=2.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\sqrt{2}.$ Vậy ${{\left\{ xy \right\}}_{\max }}=2.$ Chọn A.

R Mẫu 2: Cho tứ diện ABCD có $AB=x;CD=y;AD=BC=AC=BD=z.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có:

$\Delta DAC=\Delta DBC\Rightarrow AN=BN$ suy ra $NM$ là trung trực của AB, tương tự MN là trung trực của DC

Khi đó $I\in MN$ sao cho $ID=IA$

Lại có $AN=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{N}^{2}}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}$

$\Rightarrow MN=\sqrt{A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}$

Mặt khác $MN=IM+IN=\sqrt{{{R}^{2}}-A{{M}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-D{{N}^{2}}}$

$\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}+\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{z}^{2}}}{4}}$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là nghiệm của phương trình:

$\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}+\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{z}^{2}}}{4}}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-5{{a}^{2}}}=2a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=\left( 2a-\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}-4a\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}$

Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=\sqrt{22{{a}^{2}}-13{{a}^{2}}}=3a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\left( 3a-\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-4{{a}^{2}}=9{{a}^{2}}-6a\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=\frac{4a}{6}\Leftrightarrow R=\frac{a\sqrt{85}}{4}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{340\pi }{9}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=\sqrt{26{{a}^{2}}-10{{a}^{2}}}=4a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=\left( 4a-\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}-8a\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=a\Leftrightarrow R=a\sqrt{10}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}}=\sqrt{78{{a}^{2}}-29{{a}^{2}}}=7a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\left( 7a-\sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-4{{a}^{2}}=49{{a}^{2}}-14a\sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}}=2a\Leftrightarrow R=a\sqrt{29}\Rightarrow {{S}_{\left( C \right)}}=4\pi {{R}^{2}}=116\pi {{a}^{2}}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-16{{a}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-17{{a}^{2}}}$

Với$R=a\sqrt{17}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-17{{a}^{2}}}=4a+a=5a\Rightarrow {{x}^{2}}=42{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{42}.$ Chọn A…