Tổng hợp lý thuyết bài tập mặt cầu khối cầu mức độ nhận biết thông hiểu có đáp án chi tiết toán lớp 12
Bài tập mặt cầu khối cầu mức độ nhận biết thông hiểu có đáp án chi tiết
Dưới đây làm một số bài toán về mặt cầu, khối cầu hay ra trong đề thi đại học, thpt quốc gia
| Bài tập 1: Tính thể tích khối cầu có diện tích bằng diện tích xung quanh của hình lập phương cạnh a.
A. $\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{\pi }}$ B. $\frac{32{{a}^{3}}}{3\sqrt{\pi }}$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{\pi }}$ D. $\frac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{\pi }}$ |
Lời giải chi tiết
Diện tích xung quanh hình lập phương cạnh a là ${{S}_{xq}}=4{{a}^{2}}\xrightarrow{{}}{{S}_{mc}}=4{{a}^{2}}$
Suy ra bán kính mặt cầu là $4\pi {{R}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{\pi }\Rightarrow R=\frac{a}{\sqrt{\pi }}$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{2}}=\frac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{\pi }}.$ Chọn D.
| Bài tập 2: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$và mặt phẳng$\left( \alpha \right)$. Biết khoảng cách từ O đến $\left( \alpha \right)$bằng$\frac{R}{2}$. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với $S\left( O;R \right)$là một đường tròn đường kính bằng
A. $R.$ B. $R\sqrt{3}.$ C. $\frac{R}{2}.$ D. $\frac{R\sqrt{3}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Hình vẽ tham khảo
Gọi H là hình chiếu của O xuống mp$\left( \alpha \right)$. Ta có $d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=OH=\frac{R}{2}<R$ nên $\left( \alpha \right)$ cắt $S\left( O;R \right)$ theo đường tròn $C\left( H;r \right)$. Bán kính đường tròn $C\left( H;r \right)$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra dường kính của đường tròn cần tính bằng $\frac{R\sqrt{3}}{2}.$ Chọn B.
| Bài tập 3: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$và một điểm A thỏa mãn $OA=2R.$ Qua A kẻ đường thẳng cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm B, C sao cho $BC=R\sqrt{3}.$ Khoảng cách từ O đến BC bằng
A. $R.$ B. $\frac{R}{2}.$ C. $R\sqrt{2}.$ D. $R\sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là hình chiếu của O lên BC.
Ta có $OB=OC=R,$ suy ra H là trung điểm của BC nên $HC=\frac{CD}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $OH=\sqrt{O{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\frac{R}{2}.$ Chọn B.
| Bài tập 4: Cho hình cầu tâm O, đường kính $AA’=4.$ Gọi H là một điểm trên đoạn $AA’$ sao cho $AH=\frac{8}{3}.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua H và vuông góc với $AA’$cắt hình cầu theo đường tròn $\left( C \right)$. Tính diện tích của đường tròn $\left( C \right)$.
A. $\frac{32\pi }{9}.$ B. $\frac{8\pi }{9}.$ C. $\frac{8\pi }{3}.$ D. $\frac{32\pi }{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, ta có $AH=\frac{8}{3}.$ Ta suy ra $OH=AH-OA=\frac{2}{3}.$
Gọi $r’$ là bán kính của đường tròn $\left( C \right)$. Ta có $r{{‘}^{2}}={{r}^{2}}-O{{H}^{2}}={{2}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}=\frac{32}{9}.$
Vậy diện tích cùa đường tròn$\left( C \right)$ là $S=\pi r{{‘}^{2}}=\frac{32\pi }{9}.$ Chọn A.
| Bài tập 5: Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là $4\pi .$ Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là $2\pi .$ Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}.$ B. $1.$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ D. $\sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có ${{d}^{2}}={{R}^{2}}-{{r}^{2}}.$
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R .
Theo giả thiết, ta có $\pi {{R}^{2}}=4\pi \Leftrightarrow R=2$và $\pi {{r}^{2}}=2\pi \Leftrightarrow r=\sqrt{2}$.
Suy ra $d=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}.$ Chọn D.
| Bài tập 6: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$, A là một điểm ở trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng
A. $\frac{3\pi {{R}^{2}}}{4}.$ B. $\pi {{R}^{2}}.$ C. $\frac{\pi {{R}^{2}}}{4}.$ D. $\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Hình vẽ tham khảo
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên $\left( P \right)$ thì
H là tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$.
$\widehat{\left( OA;\left( P \right) \right)}=\widehat{\left( OA;AH \right)}={{60}^{0}}.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến $r=HA=OA.cos{{60}^{0}}=\frac{R}{2}.$
Suy ra diện tích dường tròn giao tuyến $\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{4}.$ Chọn C.
| Bài tập 7: Cho mặt cầu $S\left( I;R \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu$\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn tâm O. Hai điểm $A,B\in O$ sao cho tam giác OAB đều, góc giữa hai mặt phẳng $\left( IAB \right)$ và $\left( OAB \right)$bằng ${{60}^{0}},$ diện tích tam giác IAB bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Bán kính R bằng
A. $R=\frac{3}{2}.$ B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ C. $R=\frac{\sqrt{13}}{2}.$ D. $R=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $OA=OB=x.$ Tam giác OAB là tam giác đều
${{S}_{\Delta OAB}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$ Mặt phẳng $\left( OAB \right)$ là hình chiếu của mặt phẳng $\left( IAB \right)$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
${{S}_{\Delta OAB}}={{S}_{\Delta IAB}}.cos\varphi $ với $\varphi =\widehat{\left( IAB \right);\left( OAB \right)}={{60}^{0}}$.
${{S}_{\Delta OAB}}=\frac{{{S}_{\Delta IAB}}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=1.$
Gọi M là trung điểm của AB $\Rightarrow \widehat{IMO}={{60}^{0}}\Rightarrow IO=\frac{3}{2}.$
Vậy $R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.$ Chọn C.
| Bài tập 8: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I, bán kính R. Ba mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ qua điểm A không nằm trên mặt cầu, đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích bằng $12\pi \text{ }c{{m}^{3}}.$ Biết $IA=\sqrt{3}\text{ }cm,$ tính độ dài bán kính R của mặt cầu $\left( S \right)$.
A. $r=2\sqrt{3}.$ B. $r=\sqrt{5}.$ C. $r=\sqrt{3}.$ D. $r=2.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $a,b,c$ lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$.
Gọi ${{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}}$ lần lượt là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ với $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$.
Khi đó ${{R}^{2}}={{a}^{2}}+r_{1}^{2};{{R}^{2}}={{b}^{2}}+r_{2}^{2};{{R}^{2}}={{c}^{2}}+r_{3}^{2}\Rightarrow 3{{R}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)\text{ (*)}\text{.}$
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=I{{A}^{2}};{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right).$
Suy ra (*)$\Leftrightarrow 3{{R}^{2}}=I{{A}^{2}}+\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{\pi }=3+12=15\Rightarrow R=\sqrt{5}.$ Chọn B.