1 of 3

Lý thuyết Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tọa độ của vectơ

Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vectơ đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (Hình sau).

Với mỗi vectơ ứ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u  = {x_0}\overrightarrow i  + {y_0}\overrightarrow j \). Ta nói vectơ \(\overrightarrow u \) có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và viết \(\overrightarrow u  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) hay \(\overrightarrow u \left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Các số \({{x_0},{y_0}}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).

Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.

\(\vec u\left( {x,y} \right) = \vec v\left( {x’,y’} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = x’}\\
{y = y’}
\end{array}} \right.\)

Ví dụ: Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) tương ứng của các trục Ox, Oy.

Giải

Vì \(\overrightarrow i  = 1\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow i\) có toạ độ là (1; 0)
Vì \(\overrightarrow j  = 0\overrightarrow i  + 1\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow j\) có toa độ là (0; 1).

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {x;y} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{*\vec u + \vec v = \left( {x + x’;y + y’} \right);}\\
{*\vec u – \vec v = \left( {x – x’;y – y’} \right);}\\
{*k\vec u = \left( {kx;ky} \right),k \in R}
\end{array}\)

Nhận xét: Vectơ \(\overrightarrow v \left( {x’;y’} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right) \ne \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x’ = kx, y’ = ky (hay \(\frac{{x’}}{x} = \frac{{y’}}{y}\) nếu \(x,y \ne 0\)

– Nếu điểm M có toạ độ (x; y) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (x; y) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Nhận xét: Với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right)\) ta lấy điểm M(x; y) thì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Chẳng hạn, vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; – 1} \right)\) có độ dài là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2}}  = \sqrt 5 \) 

– Với hai điểm M(x; y) và N(x’; y’) thì \(\overrightarrow {MN}  = \left( {x’ – x;y’ – y} \right)\) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x’ – x} \right)}^2} + {{\left( {y’ – y} \right)}^2}} \) 

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1;~2), B(3; 2), C(7: 4). 

a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \). So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

b) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm D(x; y) đề ABCD là một hinh thoi.

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 – 1;2 – ( – 2)} \right) = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {7 – 3;4 – 2} \right) = \left( {4;2} \right)\)

Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 ;BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 \)

Do đó các khoảng cách này bằng nhau.

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;{\rm{ }}4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;{\rm{ }}2} \right)\) không cùng phương (vì \(\frac{2}{4} \ne \frac{4}{2}\)). Do đó các điềm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. 

c) Các điểm A, B, C không thằng hàng và BA = BC nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BC} \). 

Do \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \left( {x – 1;y + 2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 = 4\\
y + 2 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là D(5; 0). 

Chú ý: 

+ Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)

+ Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\) 

Bài tập minh họa

Câu 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i \) (Hình cho bên dưới). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số \( – \frac{3}{2}\). Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) theo vectơ \(\overrightarrow i \).

Hướng dẫn giải

Dễ thấy:

vectơ \(\overrightarrow {OM} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 4 = 4\left| {\overrightarrow i } \right|\)

Do đó: \(\overrightarrow {OM}  = 4\,.\,\overrightarrow i \)

Tương tự, vectơ \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\left| {\overrightarrow i } \right|\)

Do đó: \(\overrightarrow {ON}  =  – \frac{3}{2}\,.\,\overrightarrow i \)

Câu 2: 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u  = (2; – 3),\;\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; – 12)\)

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \)

b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u \)

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow u  = (2; – 3)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2.\;\overrightarrow i  + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; – 12)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = 4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2.\;\overrightarrow i  + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v  = 4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.\)(theo câu a)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = \left( {2.\;\overrightarrow i  + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u  = 4\left( {2.\;\overrightarrow i  + \left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = \left( {2.\;\overrightarrow i  + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j  + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u  = 4.2.\;\overrightarrow i  + 4.\left( { – 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = 6.\;\overrightarrow i  + \left( { – 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)

c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { – 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\;\overrightarrow u  = \overrightarrow a \)

Post a comment

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *