1 of 2

Lý thuyết Bài tập cuối chương 1 – CTST

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Mệnh đề

a) Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

– Mệnh đề là câu khẳng định đúng hoặc sai.

– Một khẳng định dúng gọi là mệnh đề đúng.

– Một khẳng sai dúng gọi là mệnh đề sai.

– Một mệnh đề không thể vừa đúng vửa sai.

– Một mệnh đề chứa biến có thể chưa một biến hoặc nhiều biến

b) Mệnh đề phủ định

Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là \(\overline P \)

Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng. 

c) Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề ” Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu P => Q

Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

* Khi mệnh đề P => Q là định lí, ta nói:

  • P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.
  • P là điều kiện đủ để có Q.
  • Q là điều kiện cần để có P.

d) Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\) (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”)

Khi đó, ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (Q là điều kiện cần và đủ để có P)

e) Mệnh đề chứa kí hiệu \(∀\), \(∃\)

Mệnh đề \(\forall x \in M,P(x)\) đúng với mọi \({x_0} \in M\), P(x) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề \(\exists x \in M,P(x)\) đúng nếu có \({x_0} \in M\),sao cho P(x) là mệnh đề đúng.

1.2. Tập hợp

a) Tập con và hai tập hợp bằng nhau

Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phân tử của A đều là phân từ của B thì ta nói tập hợp A là rập con của tập hợp B và kí hiệu \(A \subset B\) (đọc là A chứa trong B), hoặc \(B \supset A\) (đọc là B chứa A)

Nhận xét

* \(A \subset A\) và \(Ø \subset A\) với mọi tập hợp A.

* Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu \(A \not\subset B\) (đọc là A không chứa trong B hoặc B không chứa A).

* Nếu \(A \subset B\) hoặc \(B \subset A\) thì ta nói A và B có quan hề bao hàm.

b) Một số tập con của tập hợp số thực

Sau này ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây (a và b là các số thực, a < b)

1.3. Các phép toán trên tập hợp

a) Hợp và giao của các tập hợp

Cho hai tập hợp A và B.

– Tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

\(A \cup B = {\rm{\{ }}x|x \in A\) hoặc \(x \in B{\rm{\} }}\)

– Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cap B\).

\(A \cap B = {\rm{\{ }}x|x \in A\) và \(x \in B{\rm{\} }}\)

b) Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

Cho hai tập hợp A và B.

– Tâp hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là liệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\)

\(A\backslash B = {\rm{\{ }}x|x \in A\) và \(x \notin B{\rm{\} }}\).

– Nếu A là tập con của E thì hiệu \(E\backslash A\) gọi là phân bù của A trong E, kí hiệu \({C_E}A\).

Bài tập minh họa

Câu 1: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x – 4\)

c) \(\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề sai, vì \(x = 0 \in \mathbb{R}\) nhưng \({0^2}\) không lớn hơn 0.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\)”

b) Mệnh đề đúng, vì \(x = 1 \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \({1^2} = 5.1 – 4\)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} \ne 5x – 4\)”

 c) Mệnh đề sai, vì \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  – \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\forall x \in \mathbb{Z},2x + 1 \ne 0\)”

Câu 2: Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) \(A = \{  – \sqrt 3 ;\sqrt 3 \} \) và \(B = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} – 3 = 0\} \)

b) C là tập hợp các tam giác đều và D là tập hợp các tam giác cân;

c) \(E = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của 12\(\} \) và \(F = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của 24\(\} .\)

Viết tất cả các tập con của tập hợp \(A = \{ a;b\} .\)

Hướng dẫn giải

a) A là tập con củ B vì:

 \( – \sqrt 3  \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left( { – \sqrt 3 } \right)^2} – 3 = 0\), nên \( – \sqrt 3  \in B\)

\(\sqrt 3  \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left( {\sqrt 3 } \right)^2} – 3 = 0\), nên \(\sqrt 3  \in B\)

Lại có: \({x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \) nên \(B = \{  – \sqrt 3 ;\sqrt 3 \} \).

Vậy A = B.

b) C là tập hợp con của D vì: Mỗi tam giác đều đều là một tam giác cân.

\(C \ne D\) vì có nhiều tam giác cân không là tam giác đều, chẳng hạn: tam giác vuông cân.

c) E là tập con của F vì \(24\; \vdots \;12\) nên các ước nguyên dương của 12 đều là ước nguyên dương của 24.

\(E \ne F\) vì \(24 \in F\)nhưng \(24 \notin E\)

Câu 3: Cho \(A = \{ (x;y)|x,y \in \mathbb{R},3x – y = 9\} \), \(B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},x – y = 1\} \)

Hãy xác định \(A \cap B\).

Hướng dẫn giải

\(A \cap B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},3x – y = 9,x – y = 1\} \)

Tức là \(A \cap B\)là tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y = 9\\x – y = 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x – 9\\y = x – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 3x – 9\\y = x – 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 8\\y = x – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(A \cap B = \{ (4;3)\} .\)

Post a comment

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *