Tính đồng biến, nghịch biến của hàm hợp
Loại 1: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho trực tiếp
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm của hàm hợp ${{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( u \right).{u}’$.
Lập bảng xét dấu ${y}’$ của hàm số đã cho và kết luận.
Bài tập minh họa
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)$ trên $\mathbb{R}$.a) Tìm khoảng đồng biến của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)$.b) Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $h\left( x \right)=f\left( x+3 \right)$.. |
Lời giải
a) Ta có: ${g}’\left( x \right)={{\left[ f\left( 1-2x \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( 1-2x \right).{{\left( 1-2x \right)}^{\prime }}=-2{{\left( 1-2x-1 \right)}^{2}}\left[ 2\left( 1-2x \right)-1 \right]\left( 1-2x+1 \right)$
$\Rightarrow {g}’\left( x \right)=-8{{x}^{2}}\left( 1-4x \right)\left( 2-2x \right)=-16{{x}^{2}}\left( 4x-1 \right)\left( x-1 \right)$
Bảng xét dấu cho ${g}’\left( x \right)$.
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( \frac{1}{4};1 \right)$.
b) Ta có: ${h}’\left( x \right)={{\left[ f\left( x+3 \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( x+3 \right).{{\left( x+3 \right)}^{\prime }}={{\left( x+3-1 \right)}^{2}}\left[ 2\left( x+3 \right)-1 \right]\left( x+3+1 \right)$
$\Rightarrow {h}’\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)\left( x+4 \right)
Bảng xét dấu cho ${h}’\left( x \right)$
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -4;\frac{-5}{2} \right)$.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}’\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$.a) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$.b) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $h\left( x \right)=f\left( 1-x \right)+\frac{3{{x}^{2}}}{2}-5x+1$. |
Lời giải
a) Ta có: ${g}’\left( x \right)=2x.{f}’\left( {{x}^{2}}-2 \right)=2x.\left( {{x}^{2}}-2+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2-2 \right)=2x.\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$.
Bảng xét dấu cho ${g}’\left( x \right)$.
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$; $\left( 1;1 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$. Vậy hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 1;2 \right)$.
b) Ta có: ${h}’\left( x \right)=\left[ {f}’\left( 1-x \right) \right]+3x-5=-{f}’\left( 1-x \right)+3x-5=-\left( 1-x+1 \right)\left( 1-x-2 \right)+3x-5$
$=\left( x-2 \right)\left( -1-x \right)+3x-5=-{{x}^{2}}+4x-3=-\left( x-1 \right)(x-3)$.
Bảng xét dấu cho ${h}’\left( x \right)$
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 3;+\infty \right)$.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}-x$.a) Tìm .khoảng đơn điệu của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right)-12x$.b) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)+\frac{16{{x}^{3}}}{3}-16x+2$. |
Lời giải
a) Ta có: ${g}’\left( x \right)=2{f}’\left( 2x+1 \right)-12=2.\left[ {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}-\left( 2x+1 \right) \right]-12$
$=2\left( 4{{x}^{2}}+2x-6 \right)=4\left( 2x+3 \right)\left( x-1 \right)$
Bảng xét dấu cho ${g}’\left( x \right)$.
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{3}{2};1 \right)$.
b) Ta có: ${h}’\left( x \right)=2x.{f}’\left( {{x}^{2}} \right)=2x({{x}^{4}}-{{x}^{2}})+16{{x}^{2}}-16=2{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)+16\left( {{x}^{2}}-1 \right)=2\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{3}}+8 \right)$
Bảng xét dấu cho ${h}’\left( x \right)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( -1;1 \right)$.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=\left( x-2 \right)\left( 2x-5 \right)\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2 \right)-\frac{1}{2}{{x}^{4}}+2$A. $\left( -1;1 \right)$. B. $\left( 0;2 \right)$. C. $\left( 1;+\infty \right)$. D. $\left( -3;0 \right)$. |
Lời giải
Ta có: $y=f\left( {{x}^{2}}+2 \right)-\frac{1}{2}{{x}^{4}}+2\Rightarrow {y}’=2x.{f}’\left( {{x}^{2}}+2 \right)-2{{x}^{3}}=2x.{{x}^{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4-5 \right)-2{{x}^{3}}$
$=2{{x}^{3}}\left( 2{{x}^{2}}-2 \right)=4{{x}^{3}}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$.
Bảng xét dấu cho ${y}’$.
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$. Chọn C.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 2x-1 \right)$ trên $\mathbb{R}$ và hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+2 \right)$. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây:A. $\left( -\infty ;-2 \right)$. B. $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$. C. $\left( 2;\frac{3}{2} \right)$. D. $\left( \frac{3}{2};+\infty \right)$. |
Lời giải
Ta có: ${g}’\left( x \right)={{\left[ f\left( x+2 \right) \right]}^{\prime }}={{\left( x+2 \right)}^{3}}{{\left( x+2-1 \right)}^{2}}\left[ 2\left( x+2 \right)-1 \right]$
$={{\left( x+2 \right)}^{3}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}.\left( 2x+3 \right)
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$. Chọn B.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}$ trên $\mathbb{R}$ và hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây:A. $\left( -1;0 \right)$. B. $\left( 0;1 \right)$. C. $\left( -2;-1 \right)$. D. $\left( -1;1 \right)$. |
Lời giải
Ta có: ${f}’\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}=x\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}$
Khi đó ${g}’\left( x \right)={{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}.{f}’\left( {{x}^{2}}-1 \right)$
$=2x\left( {{x}^{2}}-1 \right).{{x}^{2}}{{\left[ \left( {{x}^{2}}-1 \right)-2 \right]}^{2}}>0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>1 \\ {} -1
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$. Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$, biết rằng ${f}’\left( x \right)={{x}^{2}}+x$, hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?A. $\left( 1;2 \right)$. B. $\left( -1;1 \right)$. C. $\left( 0;1 \right)$. D. $\left( -\infty ;-1 \right)$. |
Lời giải
Ta có công thức đạo hàm của hàm hợp ${{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( u \right).{u}’\left( x \right)$.
Do đó ${{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( {{x}^{2}}-1 \right).2x=2\left( {{x}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}$.
Vẽ bảng xét dấu ta có: ${{\left[ f\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]}^{\prime }}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>1 \\ {} -1
Do đó hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$. Chọn A.
======================
Loại 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp cho qua bảng biến thiên hoặc đồ thị.
Phương pháp giải:
Giả sử giả thiết bài toán cho đồ thị hàm ${f}’\left( x \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ như hình vẽ dưới đây.
Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số $y=f\left( x \right)$ ta dựa đồ thị ${f}’\left( x \right)$như hình vẽ để tìm khoảng đồng biến nghịch biến.
Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm hợp $y=f\left( u \right)$ ta làm như sau:
Ta thấy ${f}’\left( x \right)$ đổi dấu qua các điểm $x=b,\text{ }x=c,\text{ }x=d$ và ${f}’\left( x \right)$ bằng không nhưng không đổi dấu tại các điểm $x=a,\text{ }x=e$ nên ta có thể thiết lập biểu thức đạo hàm:
${f}’\left( x \right)=k{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right){{\left( x-e \right)}^{2}}$
Trong đó hệ số $k>0$ nếu $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}’\left( x \right)>0$ và $k0$ nên ta có thể giả sử:
${f}’\left( x \right)={{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( x-d \right){{\left( x-e \right)}^{2}}$ từ đó suy ra đạo hàm của hàm hợp ${{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={u}’.{f}’\left( u \right)$. Từ đó lập bảng xét dấu và kết luận.
Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 0;2 \right)$.B. $\left( 1;3 \right)$.C. $\left( -1;1 \right)$.D. $\left( -\infty ;2 \right)$. |
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}’\left( x \right)$ ta thấy $1Chọn B.
Bài tập 2: [Đề thi minh họa của Bộ GD{}ĐT năm 2018] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y=f\left( 2-x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $\left( 1;3 \right)$. B. $\left( 2;+\infty \right)$.C. $\left( -2;1 \right)$. D. $\left( -\infty ;-2 \right)$. |
Lời giải
Cách 1: Giả sử ${f}’\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)$ ta có: ${{\left[ f\left( 2-x \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( 2-x \right).{{\left( 2-x \right)}^{\prime }}$
$=-{f}’\left( 2-x \right)=-\left( 2-x+1 \right)\left( 2-x-1 \right)\left( 2-x-4 \right)=\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)>0$.
Bảng xét dấu ${{\left[ f\left( 2-x \right) \right]}^{\prime }}$
Vậy hàm số đồng biến trên $\left( -2;1 \right)$ và $\left( 3;+\infty \right)$.
Cách 2: Ta có: ${{\left[ f\left( 2-x \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( 2-x \right).{{\left( 2-x \right)}^{\prime }}=-{f}’\left( 2-x \right)>0\Leftrightarrow {f}’\left( 2-x \right)
Dựa vào đồ thị ta có: ${f}’\left( 2-x \right)
Vậy hàm số đồng biến trên 
. Chọn C.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu như sau: Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?A. $\left( -2;0 \right)$. B. $\left( 2;+\infty \right)$. C. $\left( 0;2 \right)$. D. $\left( -\infty ;-2 \right)$. |
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta có thể giả sử ${f}’\left( x \right)=-\left( x+2 \right)x\left( x-2 \right)$
(Chú ý: Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}’\left( x \right)
Khi đó $y=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)\Rightarrow {y}’=-2x.{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>2 \\ {} 0
Vậy hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
. Chọn B.
Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Hàm số $y=f\left( 3-x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A. $\left( -\infty ;0 \right)$. B. $\left( 4;6 \right)$. C. $\left( -1;5 \right)$. D. $\left( 0;4 \right)$. |
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta giả sử ${f}’\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$.
Khi đó $y=f\left( 3-x \right)\Rightarrow {y}’=-\left( 3-x+1 \right)\left( 3-x-3 \right)=-\left( 4-x \right)\left( -x \right)>0\Leftrightarrow x\left( x-4 \right)
Do đó hàm số $y=f\left( 3-x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$. Chọn D.
Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số $y=f\left( 3-{{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?A. $\left( 0;1 \right)$.B. $\left( -1;0 \right)$.C. $\left( 2;3 \right)$.D. $\left( -2;-1 \right)$. |
Lời giải
Giả sử ${f}’\left( x \right)=\left( x+6 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$, ta có: $y=f\left( 3-{{x}^{2}} \right)\Rightarrow {y}’=-2x.{f}’\left( 3-{{x}^{2}} \right)$.
$=-2x.\left( 3-{{x}^{2}}+6 \right)\left( 3-{{x}^{2}}+1 \right)\left( 3-{{x}^{2}}-2 \right)=2x\left( {{x}^{2}}-9 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$
Bảng xét dấu cho ${y}’$:
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$. Chọn B.
Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?A. $\left( -1;0 \right)$.B. $\left( -\infty ;0 \right)$.C. $\left( 0;1 \right)$.D. $\left( 1;+\infty \right)$. |
Lời giải
Giả sử ${f}’\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right){{\left( x-4 \right)}^{2}}$
Suy ra ${g}’\left( x \right)={f}’\left( 1-2x \right).{{\left( 1-2x \right)}^{\prime }}=\left( 2-2x \right)\left( -2x \right)\left( -1-2x \right){{\left( -3-2x \right)}^{2}}.\left( -2 \right)>0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)x\left( 2x+1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>1 \\ {} -\frac{1}{2}
Chọn D.