• Skip to main content
  • Bỏ qua primary sidebar
  • Home
  • Diễn đàn
  • Tin Giáo dục
  • Trắc nghiệm Toán 12
Cộng đồng học tập lớp 12

Cộng đồng học tập lớp 12

Trắc nghiệm bài học, bài tập, kiểm tra và đề thi cho học sinh lớp 12.

Bạn đang ở:Trang chủ / Giải SBT Toán 12 / Giải SBT Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Giải SBT Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Thuộc chủ đề:Giải SBT Toán 12 Ngày 22/03/2021

1. Giải bài 4.27 trang 206 SBT Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
\(\begin{align} & a)2{{x}^{2}}+3x+4=0 \\ & b)3{{x}^{2}}+2x+7=0 \\ & c)2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-5=0 \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

– Tính \(\Delta = {b^2} – 4ac\)

– Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\)

– Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}\)

– Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a)2{{x}^{2}}+3x+4=0,\,\,\,\Delta =-23,\sqrt{\Delta }=-\sqrt{23} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{-3+i\sqrt{23}}{4} \\ & x=\dfrac{-3-i\sqrt{23}}{4} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} & b)3{{x}^{2}}+2x+7=0,\,\,\,\Delta ‘=-20,\sqrt{\Delta ‘}=2\sqrt{5}i \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{-1+2i\sqrt{5}}{3} \\ & x=\dfrac{-1-2i\sqrt{5}}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} & c)2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-5=0,\,\,\,\Delta =49,\sqrt{\Delta }=7 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}^{2}}=-\dfrac{5}{2} \\ & {{x}^{2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pm i\sqrt{\dfrac{5}{2}} \\ & x=\pm 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

2. Giải bài 4.28 trang 206 SBT Giải tích 12

Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}+\sqrt{3}x+3=0\). Hãy tính :
\(\begin{align} & a)\,z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \\ & b)z_{1}^{3}+z_{2}^{3} \\ & c)z_{1}^{4}+z_{2}^{4} \\ & d)\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Áp dụng: Phương trình \(ax^2+bx+c =0\) có hai nghiệm \({{z}_{1}};{{z}_{2}} \)  thì \(\left\{ \begin{aligned} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{b}{a} \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{c}{a} \\ \end{aligned} \right. \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{3}{2} \)

a) \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}-3=-\dfrac{9}{4} \) 

b) \(z_{1}^{3}+z_{2}^{3}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{3}}-3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right)={{\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}-3.\dfrac{3}{2}.\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{3}}{8} \)

c) \(z_{1}^{4}+z_{2}^{4}={{\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)}^{2}}-2z_{1}^{2}.z_{2}^{2}={{\left( -\dfrac{9}{4} \right)}^{2}}-2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{16} \)

d) \(\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\dfrac{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\left( -\dfrac{9}{4} \right):\left( \dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{3}{2}\) 

3. Giải bài 4.29 trang 206 SBT Giải tích 12

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z \) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Phương pháp giải

Tính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z\) rồi suy ra phương trình bậc hai nhận z và \(\overline z\) làm nghiệm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng: Nếu hai số \(u\) và \(v\) có: \(u+v=S;uv=P\)  thì \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}-SX+P=0 \)

Gọi \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)

Ta có:

\(\left\{ \begin{aligned} & z+\overline{z}=a+bi+\left( a-bi \right)=2a \\ & z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \)

Vậy \(z\) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của phương trình: \({{X}^{2}}-2aX+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0 \)

4. Giải bài 4.30 trang 207 SBT Giải tích 12

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là

\(\begin{align} & a)1+i\sqrt{2}\,\text{và}\,1-i\sqrt{2} \\ & b)\sqrt{3}+2i\,\text{và}\,\sqrt{3}-2i \\ & c)\,-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\,\text{và}\,-\sqrt{3}-i\sqrt{2} \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Tính \({z_1} + {z_2},{z_1}.{z_2}\) và suy ra phương trình cần tìm, dựa vào chú ý:

Nếu \(S = {z_1} + {z_2}\) và \(P = {z_1}{z_2}\) thì \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – Sz + P = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 – i\sqrt 2\) thì:

\(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 – i\sqrt 2 = 2\\ {z_1}{z_2} = \left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right)\\ = {1^2} – {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3 \end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – 2z + 3 = 0\)

b) Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 – 2i\) thì

\(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 – 2i = 2\sqrt 3 \\ {z_1}{z_2} = \left( {\sqrt 3 + 2i} \right)\left( {\sqrt 3 – 2i} \right)\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} – {\left( {2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7 \end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} – 2\sqrt 3 z + 7 = 0\)

c) Đặt \({z_1} = – \sqrt 3 + i\sqrt 2\) và \({z_2} = – \sqrt 3 – i\sqrt 2\) thì

\(\begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – \sqrt 3 – i\sqrt 2 – \sqrt 3 + i\sqrt 2 = – 2\sqrt 3 \\ {z_1}{z_2} = \left( { – \sqrt 3 – i\sqrt 2 } \right)\left( { – \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\ = {\left( { – \sqrt 3 } \right)^2} – {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5 \end{array}\)

Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\)

5. Giải bài 4.31 trang 207 SBT Giải tích 12

Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
\(\begin{align} & a){{x}^{3}}-8=0 \\ & b)\,{{x}^{3}}+8=0 \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Phân tích vế trái thành tích và giải phương trình.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a){{x}^{3}}-8=0 \\ & \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=-1-i\sqrt{3} \\ & x=-1+i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & b){{x}^{3}}+8=0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-2 \\ & x=1+i\sqrt{3} \\ & x=1-i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

6. Giải bài 4.32 trang 207 SBT Giải tích 12

Giải phương trình \({{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0\) trên tập số phức.

Phương pháp giải

Phân tích vế trái thành tích rồi giải phương trình.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & {{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( z-i \right)}^{2}}-{{\left( 2i \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( z-i-2i \right)\left( z-i+2i \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=3i \\ & z=-i \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

7. Giải bài 4.33 trang 207 SBT Giải tích 12

Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{C} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.Mệnh đề nào sau đây sai?

\(\begin{align} & A.{{z}_{1}}\in \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & B.{{z}_{1}}\,\text{thuần ảo}\,\Rightarrow {{z}_{2}}\,\text{thuần ảo} \\ & C.{{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}} \\ & D.\,{{z}_{1}}\in C\backslash \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{2}}\in C\backslash \mathbb{R} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực.

– Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\)

– Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}\)

– Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng, \({z_1} \in \mathbb{R}\) thì theo công thức nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) ta suy ra \({z_2} \in \mathbb{R}\)

Đáp án B đúng, \({z_1}\) thuần ảo thì b = 0 nên \({z_2}\) cũng thuần ảo.

Đáp án C chưa chắc đúng vì còn trường hợp phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm kép.

Đáp án D đúng vì nếu phương trình có nghiệm không thực thì nghiệm thứ hai sẽ là số phức liên hợp của nghiệm thứ nhất.

Chọn C.

8. Giải bài 4.34 trang 207 SBT Giải tích 12

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Số phức \(z=a+bi\)  là nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}-2ax+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \)

B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức \(\mathbb{C}\) (hai nghiệm không nhất thiết phân biệt)

D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Phương pháp giải

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng vì \({\left( {a + bi} \right)^2} – 2a\left( {a + bi} \right) + {a^2} + {b^2}\) \( = {a^2} + 2abi – {b^2} – 2{a^2} – 2abi + {a^2} + {b^2} = 0\)

Đáp án B đúng vì số phức z = a + bi luôn là nghiệm của phương trình \({x^2} – 2ax + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\)

Đáp án C: Đúng.

Đáp án D: Sai vì trường hợp \(\Delta < 0\) thì phương trình bậc hai sẽ có nghiệm phức chứ không có nghiệm thực.

Chọn D.

Tag với:Chương 4 Toán 12

Bài liên quan:

  1. Giải SBT Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức
  2. Giải SBT Toán 12 Bài 2: Phép cộng và nhân các số phức
  3. Giải SBT Toán 12 Bài 1: Số phức, biểu diễn hình học số phức

Sidebar chính

Bài viết mới

  • Trắc nghiệm Cấp số cộng và cấp số nhân 12/04/2021
  • Trắc nghiệm Tổ hợp (Câu 1 – MH 2021) 07/04/2021
  • ĐỀ THAM KHẢO THI TN THPT 2021 02/04/2021
  • Giải SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng 22/03/2021
  • Giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng 22/03/2021

Chuyên mục

  • Bài học Anh 12 (83)
  • Bài học Anh 12 mới (98)
  • Bài học Địa 12 (44)
  • Bài học GDCD 12 (10)
  • Bài học Hóa 12 (45)
  • Bài học Lý 12 (41)
  • Bài học Sinh 12 (47)
  • Bài học Sử 12 (27)
  • Bài học Toán 12 (33)
  • Đề thi lớp 12 (292)
  • GBT Toán 12 (142)
  • Giải SBT Toán 12 (26)
  • Giải SGK Hóa 12 (40)
  • Giải SGK Hóa 12 NC (49)
  • Giải SGK Sinh 12 (45)
  • Giải SGK Sinh 12 NC (58)
  • Giải SGK Vật lý 12 (40)
  • Giải SGK Vật lý 12 NC (52)
  • Soạn Văn 12 (147)
  • Tài liệu lớp 12 (107)
  • Tin Giáo dục (1)
  • Trắc nghiệm TN THPT môn Toán (2)
  • Trắc nghiệm Toán 12 (1)
  • Văn Mẫu 12 (87)

Trắc nghiệm online Lớp 12 - Bài học - Ôn thi THPT 2021.
Bản quyền - Chính sách bảo mật - Giới thiệu - Liên hệ - Sitemap.