Bài 4: Đường tiệm cận – Toán 12
1. Đường tiệm cận ngang
a) Định nghĩa
Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
- \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
- \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)
b) Chú ý
- Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).
- Tổng quát: Xét hàm số \(y = \frac{a_nx^n + … + a_0}{b_mx^m + … + b_0} \ \ \ m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\).
- Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là \(n\leq m.\)
- Nếu \(n=m\): tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a_n}{b_m}\)
- Nếu \(n<m\) tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0.\)
2. Đường tiệm cận đứng
a) Định nghĩa
Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
- \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
- \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)
b) Chú ý
- Đường thẳng \(x=a\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = f(x)\) thì a không thuộc tập xác định của \(f(x)\).
- Đối với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thì a là nghiệm Q(x)=0.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Lời giải:
- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)
- Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = – \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)
- Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Ví dụ 2:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.\)
Lời giải:
- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \end{array}\)
- Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \end{array}\)
- Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 3:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Lời giải:
- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)
- Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = – 1\)
- Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
- Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)
- Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
- Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = – \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)
- Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ví dụ 4:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}}\).
Lời giải:
- Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y – 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
- Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
- Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Trả lời