5. Tìm m để hàm số phân thức đơn điệu trên K

Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số m

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÍNH ĐỒNG BIẾN NGỊCH BIẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC CÓ M

Xét hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}$. TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{-d}{c} right}$.

Ta có $y=frac{ax+b}{cx+d}Rightarrow {y}’=frac{ad-bc}{{{left( cx+d right)}^{2}}}$.

Nếu $ad=bc$ thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó $Leftrightarrow ad-bc>0$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó $Leftrightarrow ad-bc<0$.

Hàm số đồng biến trên miền $D=left( i;j right)Leftrightarrow {y}’>0text{ }forall xin left( i;j right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} ad-bc>0 \  {} frac{-d}{c}notin left( i;j right) \ end{array} right.$.

Hàm số nghịch biến trên miền $D=left( i;j right)Leftrightarrow {y}'<0text{ }forall xin left( i;j right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} ad-bc<0 \  {} frac{-d}{c}notin left( i;j right) \ end{array} right.$.

BÀI TẬP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC CHỨA THAM SỐ M CÓ ĐÁP ÁN

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=frac{x+1}{x-2m}$

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-10 right)$.

Lời giải

a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 2m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-2m-1}{{{left( x-2m right)}^{2}}}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi ${y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow -2m-1>0$

$Leftrightarrow -2m>1Leftrightarrow m<-frac{1}{2}$.

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-10 right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m<-frac{1}{2} \  {} 2mge -10 \ end{array} right.Leftrightarrow -5le m<-frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=frac{x+m-2}{x-m}$

a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 5;+infty  right)$.

Lời giải

a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-m-m+2}{{{left( x-m right)}^{2}}}=frac{-2m+2}{{{left( x-m right)}^{2}}}$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi $-2m+22Leftrightarrow m>1$

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $left( 5;+infty  right)Leftrightarrow left{ begin{array}  {} m>1 \  {} mle 5 \end{array} right.Leftrightarrow 1<mle 5$.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=frac{mx+4m}{x+m}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 5. B. 4. C. Vô số. D. 3.

Lời giải

Ta có: ${y}’=frac{{{m}^{2}}-4m}{{{left( x+m right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định $Leftrightarrow {y}'<0text{ }left( forall xne -m right)$

$Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m<0Leftrightarrow 0<m<4xrightarrow{min mathbb{Z}}m=1,text{ }m=2,text{ }m=3$. Chọn D.

Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{mx-16}{x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định là

A. 8. B. 7. C. 6. D. 5.

Lời giải

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-{{m}^{2}}+16}{{{left( x-m right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

$Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+16>0text{ }left( forall xsubset D right)Leftrightarrow -4<m<4$.

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -3;-2;-1;0;1;2;3 right}Rightarrow $ có 7 giá trị của tham số m. Chọn B.

Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{mx-4}{2x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định là

A. 4. B. 7. C. 6. D. 5.

Lời giải

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{m}{2} right}$. Ta có: ${y}’=frac{-{{m}^{2}}+8}{{{left( 2x-m right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

$Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+8>0text{ }Leftrightarrow -2sqrt{2}<m<2sqrt{2}.$

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -2;-1;0;1;2 right}Rightarrow $ có 5 giá trị của tham số m. Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hàm số $y=frac{left( m+1 right)x+20}{x+m}$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là:

A. 8. B. 9. C. 10. D. 11.

Lời giải

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ -m right}$. Ta có: ${y}’=frac{mleft( m+1 right)-20}{{{left( x+m right)}^{2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-20>0Leftrightarrow -5<m<4$.

Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3 right}Rightarrow $ có 8 giá trị của tham số m. Chọn A.