1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Kiến thức cần nhớ
- Sự đơn điệu của hàm số.
- Cực trị của hàm số.
- Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
1.2. Một số dạng toán về sự đơn điệu của hàm số thường gặp
- Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
- Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.
1.3. Một số dạng toán về cực trị của hàm số thường gặp
+ Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
+ Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\)
- Tìm tập xác định.
- Tính \(y’ \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right).\)
- Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m.
- Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
- Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
+ Dạng 3: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu:
- Tìm tập xác định D.
- Tính \(y’\).
- Tính \(\Delta _{y’}\).
- Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y’}>0\) giải tìm m.
+ Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu:
- Tìm tập xác định D.
- Tính \(y’\).
- Tính \(\Delta _{y’}\).
- Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y’}\leq 0\) giải tìm m.
+ Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
- Tìm tập xác đinh D.
- Tính \(y’\).
- Tính \(\Delta _{y’}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
- Chứng minh: \(\Delta _{y’}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
1.4. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Tìm GTLN – GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
- Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một đoạn.
1.5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).
1.6. Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số
- Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\)
- Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;e].
\(f'(x)=2x-\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4}{x}\); với \(x\in [1;e],f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
\(f(1)=1;f(e)=e^2-4;f(\sqrt{2})=2-2ln2\)
Do đó:
\(\underset{x\in [1;e]}{min}f(x)=f(\sqrt{2})=2-2ln2\).
\(\underset{x\in [1;e]}{max}f(x)=f(e)=e^2-4\).
2.2. Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
Hướng dẫn giải
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y’=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y’}\neq 0\\ \Delta ‘_{y’}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y’=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y”=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y”(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
2.3. Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có nghiệm
Cho hàm số \(y=-x^4+(m+2)x^2-m-1\) có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox:
\(-x^4+(m+2)x^2-m-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\\ x^2=m+1 \end{matrix}\) (1)
(C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1>0\\ m+1\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-1\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Khi đó: \((1)\Leftrightarrow x=-1\cup x=1\cup x=-\sqrt{m+1}\cup x=\sqrt{m+1}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<2\Leftrightarrow m+1<4\Leftrightarrow m<3\)
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} -1
2.4. Dạng 4: Định tham số m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
Hướng dẫn giải
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y’=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y’\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:.png)
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (\(m\) là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(m = 1\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).
c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của \(m\).
Câu 2: Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a – 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a – 2)x\).
a) Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu 3: Cho hàm số: \(y = {x^3}-3{x^2}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-3{x^2}-m = 0\;\) có ba nghiệm phân biệt.
Câu 4: Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4}-2m{x^2} + {m^3}-{m^2}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).
b) Xác định \(m\) để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\)
B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\)
C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\)
D. \(M = \frac{1}{2};\,m = – \frac{1}{2}\)
Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f’\left( x \right) = x{\left( {x – 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và cực đại tại điểm x=1.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng (0;1).
D. Hàm số không có điểm cực đại.
Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m – 1} \right)\sin x – 2}}{{\sin x – m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m \in \left( { – 1;2} \right)\)
B. \(m \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( { – \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Câu 4: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
A. \(m\geq 1\)
B. \(m \leq 1\)
C. \(0\leq m \leq 1\)
D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)
Câu 5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
A. \(x=\pm 1\)
B. \(x=- 1\)
C. \(x= 1\)
D. \(x=0\)
4. Kết luận
Qua bài học này giúp học sinh
- Hiểu định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm.
- Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
- Biết vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm ủa nó