1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khái niệm lũy thừa
a) Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho \(n\) là một số nguyên dương.
– Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a……a}_n\)
– Với \(a\ne0\):
Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.
– Chú ý:
-
\(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
-
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
c) Lũy thừa với số mũ thực
Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:
Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)
\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).
1.2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa
Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:
-
\(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
-
\(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
-
\((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
-
\(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
-
\((a.b)^x=a^x.b^x\)
-
\(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)
1.3. So sánh hai lũy thừa
Cho số thực \(a\):
2. Bài tập minh họa
2.1. Ví dụ 1
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)
Hướng dẫn giải
\(A = \frac{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}} – \frac{{{a^{ – n}} – {b^{ – n}}}}{{{a^{ – n}} + {b^{ – n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} – \frac{{{b^n} – {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} – {{\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} – {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} – {a^{2n}}}}\)
2.2. Ví dụ 2
Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:
a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(\left( {1 – 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 – \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\)
\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b – \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – a} \right)}} – \frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {1 – {b^2}} \right)}}{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} – 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)
2.3. Ví dụ 3
Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)
2.4. Ví dụ 4
Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
Hướng dẫn giải
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ – 1}}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 – \sqrt 2 }} = a\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}\)
2.5. Ví dụ 5
Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:
a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)
b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tính
a) \({9^{{2 \over 5}}}{.27^{{2 \over 5}}}\);
b) \({144^{{3 \over 4}}}:{9^{{3 \over 4}}}\);
c) \({\left( {{1 \over {16}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {0,25} \right)^{{{ – 5} \over 2}}}\);
Câu 2: Tính
a) \( \dfrac{10^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
b) \( ( 4^{2\sqrt{3}} – 4^{\sqrt{3} – 1}). 2^{-2\sqrt{3}}.\)
Câu 3: Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:
a) \( \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big( a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big)} {a^{\dfrac{1}4}{\Big( a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big)}}\)
b) \( \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)
c) \( \Big( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big)( a^{\dfrac{2}{3}} + b^{\dfrac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big) \)
Câu 4: Tính
a) \(27^{\dfrac{2}{3}} – (-2)^{-2} +(3\dfrac{3}{8})^{-\dfrac{1}{3}} \)
b) \( ( – 0.5)^{{-4}} – 625^{0,25} – (2\dfrac{1}{4})^{-1\dfrac{1}{2}} \)
Câu 5: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần
a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; \((\frac{1}{2})^{-3}\)
b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; \(32^{\frac{1}{5}}\).
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{ – \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\).
B. \(P = \sqrt[3]{{ab}}\).
C. \(P = {\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\).
D. \(P = – \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}}}\).
Câu 2: Biểu diễn biểu thức \(K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
A. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}\)
B. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{2}}}}\)
C. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{8}}}}\)
D. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{6}}}}\)
Câu 3: Giả sử a là số thực dương, khác 1. Biểu thức \(\sqrt {a\sqrt[3]{a}}\) được viết dưới dạng \({a^\alpha }\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\alpha = \frac{2}{3}\)
B. \(\alpha = \frac{11}{6}\)
C. \(\alpha = \frac{1}{6}\)
D. \(\alpha = \frac{5}{3}\)
Câu 4: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \({2^{ – 2}} < 1 \)
B. \({(0,013)^{ – 1}} > 75\)
C. \({({\pi \over 4})^{\sqrt 5 – 2}} > 1\)
D. \({({1 \over 3})^{\sqrt 8 – 3}} < 3\)
Câu 5: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \(\sqrt {17} < \root 3 \of {28} \)
B. \(\root 4 \of {13} >\root 5 \of {23} \)
C. \({({1 \over 3})^{\sqrt 3 }} >{({1 \over 3})^{\sqrt 2 }}\)
D. \({4^{\sqrt 5 }} > {4^{\sqrt 7 }}\)
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được 1 số nội dung chính quan trọng như sau:
-
Nắm được định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên, căn bậc n, lũy thừa với số mũ hữu tỉ
-
Biết cách áp dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực để giải toán