1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
- Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), tìm nghiệm của phương trình
- Bước 3: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y\) và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)
- Bước 4: Lập bảng biến thiên
- Bước 5: Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có)
- Bước 6: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).
- Bước 7: Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng, …)
- Bước 8: Vẽ đồ thị.
1.2. Chú ý
- Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f”(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.
1.3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y= ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
– Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0
1.4. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
1.5. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (ab – bc ≠ 0)
1.6. Biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:
• Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
• Hàm số y = f(x) – a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.
• Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
• Hàm số y = f(x – a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
• Hàm số y = -f(x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox.
• Hàm số y = f(-x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy.
• Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right)\;\;\;\;\;\;\;khi\;\;\;\;x > 0\\
f\left( { – x} \right)\;\;\;\;khi\;\;\;\;x \le 0
\end{array} \right.\) có đồ thị (C’) bằng cách
– Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy.
– Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.
• Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right)\;\;\;\;\;\;\;khi\;\;\;\;f\left( x \right) > 0\\
– f\left( x \right)\;\;\;\;khi\;\;\;\;f\left( x \right) \le 0
\end{array} \right.\) có đồ thị (C’) bằng cách:
– Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.
– Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox.
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc 3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\).
Hướng dẫn giải
+ Bước 1: Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
+ Bước 2: \(y’=3x^2-6x\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
+ Bước 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
+ Bước 4: Bảng biến thiên
+ Bước 5: Vậy
Hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên \((0;2).\)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; giá trị cực đại là y=2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; giá trị cực tiểu là y=-2.
+ Bước 6: \(y”=6x-6\)
\(y” = 0 \Leftrightarrow 6x – 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0\)
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.
+ Bước 7: Cho: \(x = – 1 \Rightarrow y = – 2;x = 3 \Rightarrow y = 2\)
+ Bước 8: Đồ thị hàm số
2.2. Dạng 2: Khảo sát hàm số trùng phương
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1\).
Hướng dẫn giải
+ Bước 1: Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
+ Bước 2: \(y’ = – 4{x^3} + 4x\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)
+ Bước 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty\)
+ Bước 4: Bảng biến thiên:
+ Bước 5: Vậy
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1; giá trị cực đại y=2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; giá trị cực tiểu y=1.
+ Bước 6: Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.
+ Bước 7: \(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow – {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 – \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)
+ Bước 8: Đồ thị hàm số:
2.3. Dạng 3: Khảo sát hàm số nhất biến
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\)
Hướng dẫn giải
+ Bước 1: Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
+ Bước 2: \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}} < 0\)
+ Bước 3: Vậy
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\).
Hàm số không có cực trị.
+ Bước 4: Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 1\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
+ Bước 5: Bảng biến thiên:
+ Bước 6: Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng.
+ Bước 7: Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = – 1;y = 0 \Rightarrow x = – 1\).
+ Bước 8: Đồ thị hàm số:
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(y=2+3x-{{x}^{3}}\)
b) \(y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\)
Câu 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(y=-{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1\)
b) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)
Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a) \(y=2-3x-x^2\)
b) \(y=x^3-x^2+x\)
c) \(y=-x^4+2x^3+3\)
Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :
a) \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\)
b) \(y=\dfrac{2-x}{2x-1}\)
Câu 5: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(y=(m-1)x^4-mx^2+3\) có đúng một cực trị
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0.
C. Đồ thị của hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành
D.Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
Câu 2: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
A. \(y = – {x^3} + 3x + 2\)
B. \(y = {x^3} + 3x + 2\)
C. \(y = {x^3} – 3x + 2\)
D. \(y = – {x^3} – 3x + 2\)
Câu 3: Hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+mx-2\) đạt cực tiểu tại \(x=1\). Khi :
A. \(m=1\)
B. \(m=2\)
C. \(m=-3\)
D. \(m=4\)
Câu 4: Hàm số \(y=x^4+(m^2-4)x^2+5\) có ba cực trị khi :
A. \(-2 < m < 2\)
B. \(m=2\)
C. \(m < -2\)
D. \(m > 2\)
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2\) tại điểm có hoành độ \(x=-2\) là :
A. \(y=-24x+40\)
B. \( y=24 x-40\)
C. \(y=-24x-40\)
D. \(y=-24 x\)
4. Kết luận
Qua bài học giúp học sinh
- Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số: tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
- Biết cách phân loại các dạng đồ thị hàm số.