1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x0 ∈ (a ; b).
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x \(\neq\) x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0 .
- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x \(\neq\) x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
1.2. Định lí 1
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \(\setminus\){ x0 }.
- Nếu \(\left\{ \matrix{f’\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0} – h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f’\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x0 là điểm cực đại của hàm số
- Nếu \(\left\{ \matrix{f’\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số
1.3. Định lí 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).
- Nếu f ‘(x0) = 0, f ”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
- Nếu f ‘(x0) = 0, f ”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f.
1.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
- Tìm tập xác định.
- Tính f ‘(x). Tìm các điểm tại đó f ‘(x) bằng 0 hoặc f ‘(x) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
- Tìm tập xác định.
- Tính f ‘(x). Tìm các nghiệm \(x_{i}\) của phương trình f ‘(x)=0.
- Tính f ”(x) và f ”(\(x_{i}\)) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_{i}\).
(Chú ý: nếu f ”(\(x_{i}\))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(x_{i}\)).
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau: \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + \frac{4}{3}\)
Hướng dẫn giải
Xét hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + \frac{4}{3}\)
Cách 1
Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(y’ = {x^2} – 2x – 3\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Kết luận
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\)
Cách 2
Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(y’ = {x^2} – 2x – 3\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
\(y ”= 2x – 2\)
\(y”\left( { – 1} \right) = – 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).
\(y”\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).
2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx – 5\) có 2 cực trị
Hướng dẫn giải
Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} – 2x – 5\) không thể có hai cực trị. (1)
Với \(m\ne-2\) ta có: \(y’ = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ‘ = – 3\left( {{m^2} + 2m – 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1.\) (2)
Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { – 3; – 2} \right) \cup \left( { – 2;1} \right)\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm cực trị của các hàm số sau
a) \(y = – 2{x^2} + 7x – 5\)
b) \(y = {x^3} – 3{x^2} – 24x + 7\)
c) \(y = {x^4} – 5{x^2} + 4\)
d) \(y = {(x + 1)^3}(5 – x)\)
Câu 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)
b) \(y = {{{x^2} – 2x + 3} \over {x – 1}}\)
c) \(y = {{{x^2} + x – 5} \over {x + 1}}\)
Câu 3: Tìm cực trị của các hàm số sau
a) \(y = {x \over {\sqrt {10 – {x^2}} }}\)
b) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} – 6} }}\)
Câu 4: Tìm cực trị của các hàm số sau
a) \(y = \sin 2x\)
b) \(y = \cos x – \sin x\)
c) \(y = {\sin ^2}x\)
Câu 5: Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị: \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx – 1\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f’\left( x \right) = {x^4}\left( {x – 1} \right){\left( {2 – x} \right)^3}{\left( {x – 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Câu 2: Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
A. \(AB = 2\sqrt 2\)
B. \(AB = 4\sqrt 2\)
C. \(AB = \sqrt 2\)
D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\)
Câu 3: Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; – 11} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2.
A. f(2) = 1
B. f(2) = -3
C. f(2) = -7
D. f(2) = -11
Câu 4: Hàm số \(y = {x^4} – 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?
A. \(0\) B. \(2\)
C. \(3\) D. \(1\)
Câu 5: Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + mx – 5\) có cực trị:
A. \(m = 3\) B. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(m < 3\) D. \(m > 3\)
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em nắm được
- Biết các khái niệm cực đại, cực tiểu.
- Biết phân biệt các khái niệm lớn nhất, nhỏ nhất.
- Biết các điều kiện đủ để hàm số có cực trị và các quy tắc tìm cực trị.